numeros complejos


1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

PREGUNTAS

1.-DEFINA LA FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO

La forma polar se expresa como r θ y generalmente se leído r en un ángulo θ.

‘r’ denota la magnitud de los números complejos y representa la distancia de los números del origen cuando se toman en el sentido de las manecillas del reloj, a través del lado no negativo del ejereal.
2.-DEFINA EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO

Un número complejo se representa generalmente en forma rectangular, es decir, en la forma de a + bi. De esta forma, a es considerada como el ancho del rectángulo, y b como la altura del mismo. Sin embargo, los números complejos también pueden expresarse en forma polar o exponencial

3.-MECIONE LA REGLA DE LA MULTIPLCACION DE NUMEROS COMPLEJOS En la multiplicación de dos números complejos, las respectivas magnitudes y los ángulos son sumados.


4.-MECIONE LA REGLA DE LA DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS

En ella, las magnitudes se dividen y los ángulos se restan con el fin de encontrar el cociente.
Aparte de la forma polar y rectangular, los números complejos también pueden representarse en forma exponencial. Esto es en la formar e i θ. Aquí ‘e’ es el exponente y tiene un valor igual a 2.71828….



5.-MECIONE LAS FORMULAS UTILIZADAS EN LA CONVERSION DE FORMA POLAR A RECTANGULAR




FORMULAS
Forma Polar
Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como
x = r cos θ    e    y = r sen θ
z puede ser expresado en forma polar como
z = r(cosθ + i senθ).En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.
Forma exponencial
La ecuación
eiθ = cos θ + i sen θ
que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar
z = r(cos θ + i sen θ),
la fórmula deEuler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:
z = re
EJERCICIOS
EXPRESAREMOS EN FORMA POLAR LOS SIGUIENTES NUMEROS COMPLEJOS:
1.-a) z= 1 + 3i
r=
=arc tg = 71°
asi la forma pola de z= 1+3i
z=


2.-
Z= -1+i
r=

(notar que esta en el segundo cuadrante)
Asi, la forma polar de z = -1+i es
z =

3.-
z= 5 – 2i
r =

(notar que esta en el cuarto cuadrante)asi, la forma polar de z= 5 -2i es:
z =











1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejos

FORMULAS
Potencias de números complejos
Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por
z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)
Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivosde n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la formaexponencial de z-1 que
zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ
Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.
Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en
(eiθ)n = eiθn           (n = 0, ±1, ±2 ...)
Cuando se expresa en la forma
(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ
que se le conoce como la fórmula de De Moivre
EJERCICIOS
1.- Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°). Calcule la potencia de orden cinco de este numero, es decir, Z5.






2.-

3.-














4.-



5.-


1.6 ECUACIONES POLINOMICAS

PREGUNTAS

1.-QUE SON LAS ECUACIONES POLINOMICAS?

SON AQUELLAS EQUIVALENTES A UNA ECUACION CUYO PRIMER TERMINO ES UN POLINOMIO Y EL SEGUNDO ES CERO. ASI, UNA Ecuación polinomica de grado n
2.- Cual es la equivalente de una...