Numeros Complejos
I.
NUMEROS COMPLEJOS
EJERCICIOS
NUMEROS COMPLEJOS.
La forma binómica es Z a bi donde i 1 es la unidad
imaginaria,
donde la parte real es a= Re(z) y la parte
imaginaria es b=Im(z).
1. En Z 4 7i
(Z)=7.
la parte real Re (Z)=4 y la parte imaginaria Im
El número complejo pues tiene dos partes, una real y la
otra imaginaria. La imaginaria está formadapor la
unidad compleja.
2. En Z 5 3i
donde
=5 y Im (z)=-3.
es la unidad imaginaria, Re (z)
3. En Z 6 15i la parte real Re (Z)=6 y parte imaginaria Im
(Z)= -15.
II. OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS
Dados Z1 4 7i, Z2 5 9i, Z3 7 11i , Z4 5 11i , calcular:
4. Calcular Z1 Z 2
En la suma o resta de complejos se operan de forma
separadas las partes reales y lasparte imaginarias.
Z1 Z 2 4 7i 5 9i 4 5 7 9 i 9 2i
5. Calcular Z1 + Z 2 Z 4
Las sumas se han definido pares, en este caso se aplica
la propiedad asociativa, se agrupan dos complejos y se
suman y luego se suman con el tercer complejo.
Z1 + Z 2 Z 4 Z1 + Z 2 Z 4 4 7i 5 9i 5 11i
4 5 7 9 i 5 11i 9 2i 5 11i 9 5 2 11 i 14 13i
6. Calcular Z1 3Z 2 5Z3 2Z 4
Se llama escalar a cualquier número real. En el
ejercicio mostrado aparecen multiplicaciones de escalar
por número complejo. Antes de hacer sumas y restas se
multiplican escalar por el número complejo; el escalar
multiplica la parte real y la parte imaginaria. Después
seefectúan las sumas y restas.
Z1 3Z 2 5Z3 2Z 4 4 7i 3 5 9i 5 7 11i 2 5 11i
4 7i 15 27i 35 55i 10 22i 4 15 35 10 7 27 55 22 i 14 111i
7. Calcular Z1 Z 2
La multiplicación de números complejos se efectúa de
igual forma que la multiplicación de dos binomios en
algebra aplicando la propiedaddistributiva. Recordar
que i 1 i 2 1 i3 i
i4 1
Z1 Z 2 4 7i . 5 9i 20 36i 35i 63 i 2 20 63 (1) i 83 i
8. Calcular Z1 Z3 7Z 4 3Z 2
Es una operación combinada. Primero se efectúan las
multiplicaciones de escalar por complejo, después se
efectúan las multiplicaciones y finalmente sumas y
restas.
Z1 Z3 7Z 4 3Z 2 4 7i 7 11i 7 5 11i 3 5 9i
28 44i 49i 77i 2 35 77i 15 27i 28 44i 49i 77 35 77i 15 27i
49 93i 35 77i 15 27i 49 35 15 93 77 27 i 99 197i
Z1
Z3
En la división de números complejos se multiplica
numerador y denominador por el complejo conjugado del
denominador con elobjeto de eliminar la unidad
imaginaria del denominador. En este caso el conjugado
del número complejo 5-91 es 5+9i.
9. Calcular
Z1 4 7i 4 7i 5 9i 4 7i 5 9i 20 36i 35i 63
Z 3 5 9i 5 9i 5 9i 5 9i 5 9i
25 81i 2
43 71i 43 71
i
106
106 106
10.
Calcular
Z1
Z3 Z 4
Z2
Z1
4 7i
4 7i 5 9i
Z3 Z 4
7 11i 5 11i
35 77i 55i 121i 2
Z2
5 9i
5 9i 5 9i
4 7i 5 9i 156 22i 20 36i 35i 63 156 22i 43 71i 156 22i
25 81
25 81
106
43 71
43
71
i 156 22i
156
22 i 155.6 21.3i
106 106
106
106
III. CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO
Dado Z a bi elconjugado es Z a bi , recuérdese que en la
división de números complejos se multiplico numerador y
denominador entre el conjugado del denominador.
Z1 4 7i
Z Z
4 7i 5 9i
1 3
Z3 5 9i
Z3 Z3 5 9i 5 9i
11.
Dados Z1 6 3i, Z2 9 i, Z3 5 9i , Z4 1 2i , calcular:
2 6 3i
2 6 3i
2Z1
3Z 2 Z 4
3 9 i 1 2i
3 9...
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