numeros complejos

UNIDAD I

SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Antes de hacer el estudio de los números complejos, revisaremos cada uno de los sistemas de números que preceden a los complejos.

El sistema de los números naturales está integrado por el conjunto N = {0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ……………………….}, las operaciones totalmente definidas de adición y multiplicación, asociadas a la relación“menor o igual”. Los números naturales es un conjunto infinito, su elemento mínimo (menor) es el cero, no tiene elemento máximo.

El sistema de los números enteros está integrado por el conjunto Z = {…, -3, -2,
-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ……………………….}, las operaciones totalmente definidas de adición, sustracción y multiplicación, asociadas a la relación “menor o igual”. Los númerosenteros es un conjunto infinito, no tiene elemento mínimo (menor), ni elemento máximo.

El sistema de los números racionales está integrado por el conjunto
Q =  m
 n
/ m  Z , n  Z , n  0 , las operaciones totalmente definidas de adición,

sustracción, multiplicación y división (divisor diferente de cero), asociadas a la relación “menor o igual”. Los números racionales es un conjuntoinfinito, no tiene elemento mínimo (menor), ni elemento máximo.
En el conjunto de números racionales están todos los números naturales, todos los números enteros (N  Z  Q) y también todos los números decimales cuyas cifras decimales se pueden contar y los números decimales periódicos. Los números decimales cuyas cifras decimales no terminan y no tienen período, a estos números los denominamosirracionales (I), por ejemplo el número  =
3,14159……………..; el número e= 2,7182…………………; 2 , etc. Los números racionales e irracionales no tienen elementos comunes, es decir, su intersección es el conjunto vacío, Q  R = 

El sistema de números reales está conformado por la unión de los números racionales con los números irracionales, esto es, R = Q  I; las operaciones totalmentedefinidas de adición, sustracción, multiplicación y división (divisor diferente de cero), asociadas a la relación “menor o igual”.
Entre los números reales y la recta real existe una correspondencia biunívoca,
es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta




-∞+∞
Propiedades fundamentales del sistema de números reales

1) Clausura o cerradura: a+b R y ab R;  a, b R
2) Asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab)c
3) Identidad: a+0 = 0+a = a; a.1 = 1.a = a
4) Inverso o simétrico: a+(-a) = 0; a( 1 ) = ( 1 )a = 1
a a
5) Conmutativa: a+b = b+a; ab = ba
6) Distributiva: a(b+c) =ab+ac
7) Si a = b, entonces a+c = b+c, ac = bc
8) Si a+c = b+c, entonces a = b. Propiedad cancelación
9) Si ac = bc, c  0, entonces a = b. Propiedad cancelación
10) Si a y b son dos números reales, entonces a = b, ab. Propiedad de
la tricotomía.
11) Propiedad del anulación: a.0 = 0a = 0
12) Si ab = 0, entonces a = 0 v b = 0
13) Si ab  0, entonces a  0 y b  0
14) -a = (-1)a
15)-(a+b) = -a + (-b) y a-b = a+(-b)
16) a(-b) = (-a)b = -ab
17) -(-a) = a
18) (-a)(-b) = ab
19) Si a = -a, entonces a = 0
20) Si –a = -b, entonces a = b
21) Si a = b y c = d, entonces ac = bd

22) (a-1)-1 =



a
1 = a
1
a

23)
b  ad c bc
d

24)
1  1 1
ab

25) Si
a b
a = 0, entonces a = 0
b

26)
a + b =
c c
a  b
c

27) Si
a  c , entonces ad = bc
b d28)
a  c  ad  bc
b d bd
29) a ≤ b si y solo si -a ≥ -b y a-b
30) c ≥ 0, si y sólo si –c ≤ 0 y c>0 si y sólo si –c 0 y b > 0, entonces a+b > 0, ab > 0 y


35) Si a < 0 y b < 0, entonces a+b < 0, ab > 0 y


36) Si a > 0 y b < 0, entonces a+b  R, ab < 0 y

37) Si ab≥0, entonces a≥0 y b≥0 o a≤0 y b≤0
38) Si ab≤0, entonces a≤0 y b≥0 o a≥0 y b≤0
39) Si ab>0, entonces a>0...