Numeros complejos

Matemáticas 1 1

RESUMEN TEORÍA: Números Complejos

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos I

Teoría: Números Complejos

Necesidad de ampliar el conjunto de los númer os r eales

D efinición El conjunto de los números complejos se define como el conjunto »2 con la suma y elproducto complejo definido anteriormente. Es decir, » = ( » 2 , +, * ) . Adición de Complejos

Se define:
Ejemplo

(a

, b ) + (c , d ) = (a + c , b + d ) , 3 + 8)

(2 , 3) + (3 , 8 ) = (2 + 3

Multiplicación de Complejos

Se define:

(a

, b ) * (c , d )

=

(a ⋅ c

- b ⋅d , a ⋅d

+ b ⋅c)

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Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Teoría: Números Complejos

Ingeniería deTelecomunicación Fundamentos Matemáticos I

Ejemplo

(3

 , 5)*2 ,   

1     2

=

 3 ⋅ 2 - 5 ⋅ 1    2

,

3⋅

1 2

+

  5 ⋅ 2   

=

 7 ,  2 

 23     2

Vamos a definir ahora los inversos para estas dos operaciones:

Inverso Aditivo (opuesto):

Dado

(a

, b)

su opuesto es: ( −a , - b )

Ejemplo: Entonces

( −2 , 5 )

suinverso

(2 ,

- 5 ) . Observar que:

( −2 , 5 ) + ( 2 ,
Inverso Multiplicativo:

- 5 ) = ( 0, 0 )

Dado

(a

, b ) ≠ ( 0, 0 )

 a  -b  su inverso es:  ,   2  a + b2 2 2   a +b  su inverso  −2  29  −2 −5    ,  . Observar que:    29   29  −5   = ( 1, 0 )    29 

Ejemplo: Entonces

( −2 , 5 )

( −2, 5 ) *   

,

Sustracción de complejosLa resta de dos complejos no es más que sumar al primero el opuesto del segundo

(a
Ejemplo

, b ) − (c , d )

=

(a

, b)

+

( −c

, −d )

=

(a − c

, b −d)

( 10

, 12 ) − ( 8 , 15 )

=

( 10

, 12 )

+

( −8

, − 15 )

=

(2

, − 3)

División de complejos

El cociente de dos complejos no es más que multiplicar al primero el inverso del segundosiempre que éste no sea nulo

(a

, b ) / (c , d ) =  c = (a , b ) *   2 c + d2 

,

−d c +d
2 2

     

=

   ac + bd , bc − ad    2 c + d2 2 2   c +d 

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S

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Teoría: Números Complejos

Ejemplo

(1

, 2) / ( 3 , 4)

=

(1

3 −4   , 2) *  ,    25   25 

=

    11 , 2     25   25 

Producto por un número de la forma:

( λ, 0 )
=

(λ
reales.

, 0 ) * (a , b )

=

( λ a − 0b

, 0a + λ b )

(λ a

, λb )

= λ (a , b )

Luego podemos identificar a los números con segunda componente cero con los números

(λ

, 0) ≡ λ

For ma binómica

Hasta ahora hemos considerado los números complejosexpresados en forma de “par ordenado” vamos a ver otra forma de expresar un número complejo. Llamemos unidad imaginaria i = ( 0, 1 ) es fácil ver que:

(a
Ejemplo: Entonces

, b)

=

(a, 0 ) + ( 0, b ) = (a, 0 ) + (b, 0 ) * ( 0,1) ≡ a + bi
5  +    6

  −9 ,   

su forma binómica es

−9

+

5 i 6

Es fácil ver que i 2 = i * i = ( 0, 1 ) * ( 0, 1 ) = ( −1, 0 ) ≡ −1 .Importante: Para operar con números complejos dados en forma binómica se siguen las mismas reglas de las operaciones en el campo real teniendo en cuenta que i2 = -1

Entonces

(a
y para la multiplicación:

+ bi ) + ( c + di ) = ( a + c

) + (b + d ) i

(a

+ bi ) ( c + di ) = ac + adi + bic + bdi 2 = ac − bd + ( ad + bc ) i

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Con esta nueva notación podemos escribir » = {a + bi / a, b ∈ » } Dado un número complejo z = a + bi se llama parte real de z al valor real Re ( z ) = a y
parte imaginaria al valor real Im ( z ) = b . Por lo tanto,

z = Re ( z ) + i Im ( z )
Si la parte real de un número complejo es cero se le llama Imaginario puro y si es...