Numeros complejos

Propiedades de los Conjugados
· Primera propiedad
El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.
Demostración:
si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z
· Segunda propiedad
Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.
Demostración:
Tomando : z = a + bi y z' = c + di
Se obtiene:
a + bi y '= c - di
Con lo que:
(a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i
· Tercera propiedad
El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:
Demostración:
Si z = a + bi y z = c + di
Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i
Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i .
Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que(a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .
· Cuarta propiedad
Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.
Demostración:
Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado.
Esto equivale a que:
a + bi = a - bi
Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.
· Quinta propiedad
La suma y el producto de un complejo y su conjugadoson, ambos, números reales.
Demostración: (a + bi ) + (a - bi ) = 2a
(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2
Complejo opuesto
Dado un número complejo (x,y) el complejo opuesto sería (-x,-y)
Si al número complejo lo representamos por n, el complejo opuesto se representa por n'.
Si z = a +bi
El opuesto de z seria -z = -a - b
El Conjugado de z seria z = a + bi
Operacionescon Números Complejos
Suma de Números Complejos
Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
Propiedades de la Suma de Números Complejos
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
· Conmutativa
Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:
(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )
Ejemplo:
(2 - 3i) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i
(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i
· Asociativa
Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:
[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]
Ejemplo:
[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i
(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) =-1 + 6i
· Elemento neutro
El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que
(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi
El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
· Elemento simétrico
El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):
(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0
Ejemplo:
El simétrico de 2 - 3i es -2 + 3i pues (2 - 3i ) + (-2 +3i ) = 0
Producto de Números Complejos
La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores.
Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como:
(a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i
El producto puede hacerse operando con i como si fuese unnúmero real y teniendo en cuenta que i 2 = -1.
(a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad + bc) + bd(-1) = ac - bd + i (ad + bc)
Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto.
Propiedades del Producto de Complejos
· Conmutativa
Dados dos complejos a +bi y c + di , se cumple que:
(a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi )
· Asociativa
Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:
[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )]
· Elemento neutro
El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquier complejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi . El elemento neutro...