numeros complejos

Los númeroos complejos
Los números complejos: son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como, siendo  el conjunto de los reales se cumple que. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarsecomo la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el álgebra, pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tieneexactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
Cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
Suma

Producto por escalar

Multiplicación

Igualdad

A partir de estas operaciones podemosdeducir otras como las siguientes:
Resta

División


Origen de los números complejos
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano  HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano" \o "Girolamo Cardano" Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemáticoalemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, números, ecuaciones, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.
Cuerpo de los números complejos
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo,denotado por C (o más apropiadamente por el carácter Único de ℂ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpoordenado.
Unidad imaginaria
Tomando en cuenta que, se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como:

De donde se deduce inmediatamente que,

El valor absoluto, o módulo de un número complejo
Módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas delnúmero complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cos φ + isen φ), donde cos φ + isen φ = eiφ es la conocidafórmula de Euler.
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto




Para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d (z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son...