Numeros complejos




























Introducción



Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchoscampos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
















































Origen



Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemáticos griegos,como ser Herón de Alejandría, comenzaron a esbozar el concepto de números complejos, ante dificultades para construir una pirámide. Sin embargo, recién en el siglo XVI empezaron a ocupar un lugar importante para la ciencia; en ese momento, un grupo de personas buscaba fórmulas para obtener las raíces  exactas de los polinomios de grados 2 y 3.

En primer lugar, su interés era dar con las raícesreales de las ecuaciones antes mencionadas; sin embargo, también debieron enfrentarse a las raíces de números negativos. El famoso filósofo, matemático y físico  de origen francés Descartes fue quien creó el término de números imaginarios en el siglo XVII, y recién más de 100 años más tarde sería aceptado el concepto de los complejos. Sin embargo, fue necesario que Gauss, científico alemán, loredescubriera un tiempo después para que éste recibiera la atención que merecía.










































Definición


La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas lasraíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

Cabe resaltar que el cuerpo de cada numero real está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lotanto, a=0).

Los números complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el correspondiente complejo (a, o), el cuerpo de estos números reales (R) se transforma en un subcuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no admiten la posibilidad de mantener un orden, adiferencia de los números reales.

Formulas
Suma


Multiplicación


Igualdad


Resta


División


















Propiedades de números complejos



La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
 
· Conmutativa
 
Dados dos números complejos a + bi  y c + di  se tiene la igualdad:
                              (a + bi ) + (c + di ) = (c +di ) + (a + bi )
 
Ejemplo:
                           (2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i
                           (-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i
 
· Asociativa
 
Dados tres complejos a + bi, c + di  y e + fi , se cumple:
 
                 [(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]
 
Ejemplo:
 
        [(5 +2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i
        (5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i
 
· Elemento neutro
 
El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que
 
                      (a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi
 
El número 0 + 0i  se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
 
 · Elemento simétrico
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