numeros complejos
Los números complejos surgen de la
necesidad de resolver ecuaciones
cuadráticas sin solución en el campo real
Números Complejos
Hallar
los números reales que
verifican que la diferencia entre
el quíntuplo de su cuadrado y su
triple es igual a -1,25
En símbolos:
2
5 x 3 x 1,25
Tercero B
2
Números Complejos
Aplicando
3
la formularesolvente:
3 2
4.5.1,25
2.5
3 16
10
Tercero B
3
Números Complejos
Como
la raíz cuadrada de un
número negativo no existe en
los reales, esta ecuación no tiene
solución en este conjunto, es decir
que no existe ningún número real
que resuelva este problema.
2
5 x 3 x 1,25
(Sin solución real)
Tercero B
4
Números Complejos
Para
que la ecuaciónanterior tenga
solución, los matemáticos buscaron
una ampliación del conjunto de los
números reales con las siguientes
características:
El conjunto real está incluido en el
conjunto ampliado.
Las propiedades del conjunto real
se siguen cumpliendo en el conjunto
ampliado.
Tercero B
5
Números Complejos
E
inventaron un número cuyo
cuadrado es -1
después del año 1777, Eulerlo
denominó con la letra “i”.
2
i 1
Tercero B
6
Números Complejos
Luego:
16
16. 1
16 . 1
4i
Tercero B
7
Números Complejos
El
número i es solo un elemento
del conjunto de los números
complejos
Tercero B
8
Números Complejos
Se
llama número complejo a un
número z que puede escribirse de
la forma
z a bi
a
y b sonnúmeros reales
Al número a se lo llama parte
real (a=Re[z])
Al número b se lo llama parte
imaginaria (b=Im[z])
Tercero B
9
Números Complejos
Dos
Números complejos son
iguales si tienen igual parte real e
igual parte imaginaria
z1 z 2
si Re z1 Re z2 Im z1 Im z2
Tercero B
10
Números Complejos
Operaciones
con
números complejos:
Suma
yresta
Multiplicación
División
Tercero B
11
Suma
Dados z = a + bi y w = c + di
z+w
a bi c di
a c b d i
Tercero B
12
Resta
z-w
a bi c di
a c b d i
Tercero B
13
Suma y resta
Suma.
Ejemplo
2 3i 4 2i
2 4 3 2 i
6i
Tercero B
14
Suma y restaResta.
Ejemplo
2 3i 4 2i
2 4 3 2 i
2 5i
Tercero B
15
Multiplicación
Se
aplica la propiedad
distributiva
2 3i . 4
2i
2.4 4i 12i 6i
8 8i 6. 1
14 8i
Tercero B
2
16
Conjugado de un número
complejo
Dos
números complejos se
denominan conjugados si tienen
igual parte real y parte
imaginariaopuesta.
Si z = a+bi es un número
complejo,
z entonces
a bi
es
el conjugado de z
Tercero B
17
Conjugado de un número
complejo
Ejemplos
Si
z = 2+3i, su conjugado es
Z=2-3i
Si z = 1-5i, su conjugado es
Z=1+5i
Si z = 2i, su conjugado es Z=-2i
Si z = 4, ¿Cuál es su conjugado?
Tercero B
18
Conjugado de un número
complejo
Propiedades:
1) z z
2) z.z a 2 b 2
3) z z 2 Re z
4) z z 2 Im z i
5) z w z w
6) z w z w
Demostrar
las propiedades anteriores
7) z.w z.w
Tercero B
19
División
Sean
z a bi
con
w 0
wy c di
,
Se
define la división de dos
números complejos como:
z
z w
.
w w w
Tercero B
20
División
Ejemplo:
2 3i
1 2i
2 3i . 1 2i 1 2i 1 2i
2 4i 3i 6i 2
1 2i
4 7i
5
4
7i
5
5
2
2
Tercero B
21
Números Complejos
Ahora
que está definido el
conjunto de los números
complejos y sus operaciones
veamos si podemos resolver la
ecuación que se planteo al
principio.
2
5 x 3x 1,25
Tercero B
22
Números Complejos
3 3 4.5.1,25
2.5...
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