Numeros Complejos

Ingenier´ıa Civil.
Matem´
aticas I. 2012-2013.
Departamento de Matem´
atica Aplicada II.
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 2.- Los n´
umeros complejos. Polinomios.
2.1.- Los n´
umeros complejos. Operaciones.
Forma bin´omica. Operaciones y propiedades.
Forma exponencial. Potencias y ra´ıces.
2.2.- Polinomios.
Factorizaci´on de polinomios. El Teorema del resto.
´
ElTeorema fundamental del Algebra.
Las ra´ıces de un polinomio real.
2.3.- Movimientos en el plano.
Traslaciones.
Homotecias.
Giros.
Proyecciones.
Simetr´ıas.
2.4.- Ejercicios.
Eunciados.
Soluciones.
Hist´oricamente, los n´
umeros complejos surgieron para tratar ecuaciones polin´omicas, tales
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como x + 1 = 0, que no tienen soluci´on real. En esta direcci´on, el resultado principal que
´consideraremos en esta lecci´on ser´a el Teorema Fundamental del Algebra
que asegura
que toda ecuaci´on polin´omica con coeficientes complejos tiene, al menos, una soluci´on.
Previamente, habremos definido los n´
umeros complejos, sus operaciones m´as importantes
y la interpretaci´on geom´etrica de las mismas, cuyo manejo nos permite describir transformaciones sobre el plano complejo.
En la secci´on 1estudiamos los n´
umeros complejos y sus operaciones. Por una parte, los
utilizaremos para el estudio de la factorizaci´on de un polinomio y por otra, para expresar
ciertas transformaciones del plano mediante operaciones sobre ellos. En la secci´on 2, dedicada
a la factorizaci´on de polinomios, se puede apreciar la necesidad y conveniencia del estudio
de los n´
umeros complejos. La secci´on 3 est´adedicada al estudio de algunas transformaciones
del plano y a su expresi´on mediante n´
umeros complejos y mediante matrices y vectores.

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2.1.- Los n´
umeros complejos.

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2.1.- Los n´
umeros complejos. Operaciones.
Un n´
umero complejo viene dado por dos n´
umeros reales o, si se quiere por un punto o
un vector del plano. M´as importante que la definici´on en s´ı de los n´
umeros complejos,son
las operaciones que hay definidas sobre ellos y las propiedades de dichas operaciones. Sobre
los n´
umeros complejos definiremos las operaciones suma y producto. Desde el punto de vista
de la operaci´on suma, los n´
umeros complejos pueden ser tratados como vectores reales de
dos coordenadas. La operaci´on producto tendr´a, en los aspectos aritm´eticos, propiedades
similares a las del productode n´
umeros reales. Dentro de los n´
umeros complejos tendremos
a los n´
umeros reales. Cuando estemos considerando n´
umeros complejos, no tendr´a sentido
trabajar con desigualdades a menos que previamente hayamos impuesto que los t´erminos de
dichas desigualdades sean n´
umeros reales.
2.1.1.- Forma bin´
omica. Operaciones y propiedades.
Definici´
on. Un n´
umero complejo es un n´
umero de laforma z = a + bi (o z = a + ib) donde
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i verifica que i = −1 y a y b son n´
umeros reales. A i se le llama unidad imaginaria. Los
n´
umeros reales a y b se conocen, respectivamente, como parte real y parte imaginaria del
n´
umero complejo z y se suele escribir
Re(z) = a,

Im(z) = b.

Esta expresi´on que acabamos de describir de los n´
umeros complejos (m´as adelante veremos
otra) se denominaforma bin´
omica del n´
umero.
Dos n´
umeros complejos z y w son iguales si, y s´olo si,
Re (z) = Re (w)

y

Im (z) = Im (w) .

Al conjunto de los n´
umeros complejos lo denotaremos por C, es decir,
C = {z = a + bi : a, b ∈ R} .
Sea z = a + bi. Si b = 0 escribiremos simplemente z = a. Si a = 0 escribiremos z = bi. En
este u
´ ltimo caso diremos que z es un n´
umero imaginario puro. En lo que sigueidentificaremos el n´
umero real a con el n´
umero complejo a + 0i. De esta forma se puede entender
que el conjunto de los n´
umeros reales es un subconjunto del de los n´
umeros complejos.
Un n´
umero complejo z = a + bi lo podemos representar por el punto P del plano que
tiene por coordenadas cartesianas (a, b). A veces tambi´en lo respresentaremos por el vector
de posici´on OP del punto P ....