Numeros Complejos

N´
umeros complejos
Susana Puddu

1. El plano complejo. En el conjunto C = IR × IR definimos la suma y el producto de
dos elementos de C de la siguiente manera
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b).(c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Dejamos como ejercicio verificar que estas operaciones son asociativas y conmutativas,
que (0, 0) y (1, 0) son los elementos neutros para la suma y el productorespectivamente,
que (−a, −b) es el inverso aditivo de (a, b) para todo (a, b) ∈ C y que vale la propiedad
distributiva, es decir, z.(w1 + w2 ) = z.w1 + z.w2 para todo z, w1 , w2 ∈ C.
Adem´
as, todo z ∈ C, z = (0, 0) tiene un inverso multiplicativo, es decir, existe w ∈ C tal
que z.w es igual al elemento neutro del producto. En efecto, si z = (a, b) con a = 0 o b = 0
a
−b
entonces a2 + b2 = 0 y vale (a, b).a2 +b
= (1, 0). Por lo tanto w =
2 , a2 +b2
es el inverso multiplicativo de z.
Notemos que, por la definici´on de suma y producto,

a
−b
a2 +b2 , a2 +b2

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0).(0, 1)
Luego, denotando por i al elemento (0, 1) resulta que i2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0). Ahora,
identificando los elementos de la forma (a, 0) (es decir, que tiene segunda coordenada nula)
con el n´umero real a, de lo anterior resulta que (a, b) = a + bi donde i2 = −1.
Luego, C = {a + bi / a, b ∈ IR} donde i2 = −1 y la suma y el producto se traducen en
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi).(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Adem´
as los elementos neutros para la suma y el producto son 0 y 1 respectivamente, el
inverso aditivo de z = a + bi es −z = −a − bi y, si z = 0, su inversomultiplicativo es
z −1 = aa−bi
2 +b2 .
Llamaremos n´
umeros complejos a los elementos de C y llamaremos forma bin´
omica a la
escritura de un n´
umero complejo z ∈ C en la forma z = a + bi con a, b ∈ IR. Con esta
escritura puede verse a IR como un subconjunto de C : IR = {z = a + bi ∈ C / b = 0}.
Dado z = a + bi con a, b ∈ IR diremos que a es la parte real de z y que b es la parte
imaginaria de z yescribiremos a = Re (z), b = Im (z). Notemos que la parte real y la
parte imaginaria de un n´
umero complejo son n´
umeros reales. Adem´as, dados z, w ∈ C se
tiene que z = w si y s´olo si Re (z) = Re (w) e Im (z) = Im (w).

1

ALGEBRA I

Complejos

Dado z = a + bi, con a, b ∈ IR, definimos el conjugado de z como el n´
umero complejo
√
z = a − bi y definimos el m´
odulo de z como el n´
umero realno negativo |z| = a2 + b2 .
Observemos que |z| = 0 si y s´olo si z = 0 y que, si z = 0, entonces el inverso de z respecto
del producto es z −1 = |z|z 2 . Notemos adem´as que |z| es la distancia del n´
umero complejo
z = (a, b) al origen de coordenadas (0, 0). En general, si z, w ∈ C, |z − w| es la distancia
de z a w.
Observaci´
on. Si a ∈ IR entonces el m´odulo de a visto como n´
umero complejo esigual a
√
a
si a ≥ 0
a2 + 02 = a2 =
−a si a < 0
es decir, coincide con el valor absoluto de a visto como n´
umero real. Por lo tanto la
notaci´
on |a| no es ambigua.
Ejemplos. 1) Grafiquemos en el plano complejo z = 1 + 2i, w = 4 + 3i, −z, z, z + w y
z − w.
z+w

w
z

z-w
-z

_
z

2) Grafiquemos en el plano complejo {z ∈ C / |z − (1 + 2i)| = 3}. Este es el conjunto de
los z cuya distancia a 1 + 2ies igual a 3, es decir, la circunferencia de centro en (1, 2) y
radio 3.

1+2i

2

ALGEBRA I

Complejos

3) Hallar todos los z ∈ C tales que 2iz = |z + 2i|.
Sean a = Re (z) y b = Im (z). Entonces z = a + bi con a, b ∈ IR. Luego, z = a − bi y
z + 2i = a + (b + 2)i. Por lo tanto
2iz = |z + 2i| ⇐⇒ 2i(a − bi) =

a2 + (b + 2)2 ⇐⇒ 2b + 2ai =

a2 + (b + 2)2

Luego, a = 0 y 2b = (b + 2)2 de donde resultaque a = 0, b ≥ 0 y 2b = b + 2. Por lo
tanto a = 0 y b = 2. Luego, hay un u
´nico z ∈ C que satisface lo pedido, z = 2i.
4) Grafiquemos el conjunto {z ∈ C / |z + 1 − i| ≤ 2 y Re (z) + Im (z) ≤ 1}.
Primero graficamos los z que satisfacen cada una de las condiciones por separado. Los
z / |z − (−1 + i)| ≤ 2 es el c´ırculo de centro en −1 + i y radio 2, los z / Re (z) + Im (z) ≤ 1
es el semiplano...