Numeros complejos

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2.- NÚMEROS COMPLEJOS

2.1.- Origen y definición de los números imaginarios.
Los números nacieron como una necesidad de contar. Apareció en conjunto de los números
naturales
Pero en la medida que los estudios y definiciones de diversas operaciones con números naturales
y sus correspondientes aplicaciones a situaciones de la vida diaria y científicas fueron avanzando,
fue necesario ampliar eluniverso numérico. Es así como fue necesario definir el conjunto de los
números enteros, posteriormente los números racionales y números irracionales. Finalmente se
definió un nuevo universo numérico llamado el conjunto de los números reales, conjunto que
contiene a los número naturales, enteros, racionales, irracionales y los números trascendentes (e y
).
Sin embargo este nuevo universo numéricono fue capaz de dar respuesta a raíces cuadradas (en
general, raíces de orden par) de números negativos, así como a algunos fenómenos de la
naturaleza cuya Interpretación matemática involucra a este tipo de raíces.
La ecuación algebraica más simple que no tiene solución en el conjunto de número reales es
O su equivalente
o
No existe número real alguno que multiplicado por si mismo resulte
En formamás general, no existe número real alguno que multiplicado por si mismo resulte un
número negativo.
Para darle solución matemática a este problema se definió al conjunto de los número imaginarios,
cuya unidad imaginaria se denota por
(En desarrollos relaciondos a la electricidad
corrientemente se hace uso del símbolo
para señalar a la unidad imaginaria y no confundirla
con intensidad de corriente“i”), siendo
de donde resulta
El conjunto
de los número imaginarios es:
Ejemplos de número imaginarios son:

, etc.

Versión 2014-1

Elaborado por:
Germán Álvarez

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2.2.- Operatoria con números imaginarios
En general los números imaginarios satisfacen las definiciones y propiedades de la operatoria con
números reales, con excepción de las potencias de base real negativa y exponenteracional.
Adición:
Sustracción:
Multiplicación:
División:

Potencias:

Etc.

Cuidado con las potencias de exponente racional (raíces)
Para todo número real no negativo:
Si K es un número negativo, esta propiedad no es válida. Para mostrar esta situación he aquí un
contraejemplo
ABSURDO

2.3.- Números complejos
2.3.1.- Definición de los números complejos
Se define al conjunto de los números complejos como:Donde

Versión 2014-1

es llamada parte real y

es llamada parte imaginaria.

Elaborado por:
Germán Álvarez

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Algunos ejemplos de números complejos son:

-

-

Los número complejos anotados en la forma presentada se dice que están expresados en forma
binomial.
Algunos autores prefieren definir a los números complejos como

Y se dice que los números complejos están anotados en formarectangular.
Los mismos ejemplos presentados en forma binomial, escritos en forma rectangular son:

2.3.2.- Representación geométrica de los número complejos
Los números complejos se pueden representar
sobre un sistema de ejes rectangulares donde el
eje horizontal representa las partes reales y el
eje vertical representa las partes imaginarias del
número complejo.
Un número complejo
se lo
representa comouna flecha que se inicia en el
origen del sistema y termina en el punto de
coordenadas
. Algunos autores llaman a
esta representación, “representación vectorial”.

Ej.1.- Represente geométricamente
siguientes números complejos:

Versión 2014-1

los

Elaborado por:
Germán Álvarez

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2.3.3.- Operatoria con números complejos.
Cuando los números complejos están expresados en forma binomial, laoperatoria es análoga a la
usada en el álgebra tradicional
Suma de complejos:
Conclusión: La suma de dos números complejos
es un complejo cuya parte real es la suma de las
Si
y
,
partes reales de los sumandos y su parte
entonces
imaginaria es la suma de las partes imaginarias
de los sumandos.
Ej.1.- Calcule
cuando

y

.

Esta última expresión induce a pensar que si los
complejos están expresados en...