numeros complejos

DESARROLLO

1.- NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. Elconjunto de los números complejos se designa como \scriptstyle \mathbb{C}, siendo \scriptstyle \mathbb{R} el conjunto de los reales se cumple que \scriptstyle\mathbb{R}\sub\mathbb{C} (\scriptstyle \mathbb{R} está contenido en \scriptstyle \mathbb{C}). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todonúmero complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en formapolar.

2.- POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
La unidad imaginaria i se puede multiplicar por ella misma como cualquier número real, obteniéndose entonces lo que se llaman laspotencias de la unidad imaginaria.
Así pues, se trabaja de la siguiente manera:
por convenio se establece que i0=1, como pasa con cualquier otro número real.
para las cuatroprimeras potencias se tiene:
i1=i
i2=i⋅i=−1−−−√⋅−1−−−√=(−1−−−√)2=−1
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i
i4=i3⋅i=(−i)⋅i=−(i2)=−(−1)=1
Donde cada una de las potencias se obtiene multiplicando laanterior por i.
las siguientes potencias se pueden calcular a partir de las anteriormente calculadas.Veamos como siguen:
i5=i4⋅i=1⋅i=i=i1
i6=i5⋅i=i⋅i=i2
i7=i6⋅i=i2⋅i=i3i8=i7⋅i=i3⋅i=i4
Así pues, forman una sucesión periódica, pues los valores de las cuatro primeras potencias que son i,−1,−i,1 se repiten indefinidamente. Esto es porque si se quiere lapotencia enésima de la unidad imaginaria (es decir, se quiere calcular in), ésta coincide con la potencia de i que tiene por exponente el resto de la división de n entre 4.