numeros constructibles

Números Construibles con Regla y Compas
La construcción con regla y compás consiste en la determinación de puntos, rectas (o segmentos de ellas) y circunferencia (o arcos de las mismas) a partir de una regla y un compás ideales. Cuando se habla de que estos dos instrumentos deben ser ideales se refiere a:
La regla tiene longitud infinita, no tiene marcas que permitan medir o trasladardistancias y tiene sólo un borde. Puede usarse solamente para trazar un segmento de recta entre dos puntos ya dados o para prolongar un segmento dado todo lo que queramos.
El compás se cierra cuando lo levantamos del papel. Es decir, después de utilizarlo olvida la distancia que tenía entre sus puntas. Puede usarse solamente para trazar circunferencias (o arcos de ellas) tomando como centro un puntoya dado y como radio la distancia entre ese punto y otro también dado de antemano.
En principio puede parecer que las normas impuestas para estas herramientas de trabajo son demasiado restrictivas, y que se puede hacer poco con ellas, pero en realidad no es así. Estos instrumentos con estas características dan muchísimo juego.
En matemáticas, un número construible es aquel que puede representarsemediante finitas operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíz cuadrada de enteros. Tales números corresponden a los segmentos que se pueden construir con regla y compás.

Caracterización
Los números construibles forman la menor extensión de cuerpo cerrada bajo la raíz cuadrada y la conjugación de los números racionales.
El teorema de Wantzel proporciona las condicionesnecesarias y suficientes para que un número sea construible.

Propiedades
Dado que el conjunto de números algebraicos es denombrable, se sigue inmediatamente que el conjunto de números construibles es denombrable.
El conjunto de números construibles (con regla y compás) es el menor cuerpo estable por la raíz cuadrada.
Las raíces cuadradas son números construibles.


Construcción de .Ejemplos y Contraejemplos

es un número construible.
no es construible, puesto que no es algebraico sobre Q.
Punto Construible
Sise parte de un conjunto de puntos del plano. Se puede definir las figuras que son trazables:
Una recta es trazable a partir de si pasa por (al menos) dos puntos de .
Una circunferencia es trazable a partir de si tiene por centro un punto de y porradio la distancia entre dos puntos cualesquiera de .
Un punto es construible con regla y compás a partir de si es un punto del conjunto , si es un punto intersección de dos rectas trazables a partir de , si es un punto intersección de una recta y una circunferencia trazables a partir de o si es un punto intersección de dos circunferencias trazables a partir de
A partir de un cierto conjuntose obtiene por construcción con regla y compás el conjunto formado por todos los puntos construibles a partir de . Reiterando este procedimiento se genera una sucesión de conjuntos :

Se define el conjunto como la unión de todos estos conjuntos, es decir:
.

Siguiendo esto un punto del plano será construible si y sólo si ese punto pertenece a . Por tanto reúne a todos los puntos delplanos construibles con regla y compás.
Primeras Construcciones con Regla y Compás
Algunas construcciones que se pueden hacer con regla y compás. Para algunas de ellas se parte de dos puntos.
Mediatriz de un segmento
A partir de dos puntos se puede construir el segmento que los une. Pinchar con el compás en para trazar una circunferencia tomando como radio la distancia entre y . Despuéspinchar en y trazar otra circunferencia cuyo radio es la misma distancia anterior. De esta forma se construyen dos nuevos puntos: los dos puntos donde se cortan las dos circunferencias. Uniendo esos dos puntos se obtiene la mediatriz del segmento inicial
Bisectriz de un ángulo
Para esta construcción se utilizan tres puntos no alineados :
Se trazan las rectas por las que pasan y (recta ) y...