Numeros construibles

NÚMEROS CONSTRUÍBLES

por

Carlos Mario Cárdenas Mazenet

Trabajo presentado como requisito parcial para optar al Título de

Especialista en Matemáticas Avanzadas

Directora: Débora María Tejada

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Facultad de Ciencias Posgrado de Matemáticas

Diciembre 2005

Este trabajo ha sido financiado parcialmente por Colciencias, proyecto1118-05-13631 y por el convenio firmado entre la Alcaldía del Municipio de Medellín y la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín (Contrato 4800000505 de 2004.)

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Resumen
Este trabajo es una introducción a la teoría de los Números Construíbles. Comencemos haciendo una reseña histórica, para luego definir lo que es un Número Construíble. A continuación se explica cómo la teoría de campos estárelacionada con estos números y finalmente mostraremos por qué algunos problemas planteados por los griegos no tienen solución.

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Contenido
Introducción 1 Reseña Histórica 1.1 Construcciones geométricas en la Antigüa Grecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Grandes personajes de la Antigüa Grecia (600 a.C - 75 d.C) . . . . . . . . . . . . 2 Construcción de números 2.1Construcciones básicas permitidas con regla y compás . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Construcciones de los naturales, enteros, racionales, raíces cuadradas y la razón dorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 1 1 2 5 5 5

3 Subcampos de los números reales 11 3.1 Los números reales conforman un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Losnúmeros construíbles, un subcampo de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Los tres problemas geométricos de la antigüedad 14 4.1 Definiciones y teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2 Explicación de la imposibilidad de la solución de los grandes problemas de la antigüedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18 Bibliografía 20

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Agradecimientos
Quisiera agradecer a la profesora Débora María Tejada por su tiempo, dedicación y colaboración en la corrección y complementación del trabajo y muy especialmente a mi esposa y a mis hijos quienes son el motor de mi vida.

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Introducción
Desde la época clásica de los griegos, los problemas relacionados con la construcción de figuras utilizandosolamente regla y compás fueron un reto. Entre los problemas que se plantearon los griegos se encuentran por ejemplo: la trisección de un ángulo, la cuadratura del círculo o la duplicación de un cubo. La explicación de la imposibilidad de hacer dichas construcciones se basa en la Teoría de los Números Construíbles. Dado un segmento unidad en un plano, diremos que un número r es construíble si sepuede dibujar en el plano un segmento de longitud r utilizando sólo regla y compás. El objetivo principal de este trabajo es estudiar la teoría de los números construíbles y cómo se aplica ella para demostrar la imposibilidad de ciertas construcciones. Se estudiará también la relación de esta teoría con el problema de la solución de ecuaciones polinómicas. Medellín, diciembre 2005.

viCapítulo 1 Reseña Histórica
1.1 Construcciones geométricas en la Antigüa Grecia

Apróximadamente entre 475 a.C. y 325 a.C. la matemática teórica creció enormemente, debido principalmente a los logros obtenidos por los griegos. Estos logros fueron primariamente en cuatro áreas: La teoría de números, la geometría métrica (focalizada en el desarrollo de fórmulas para el área y el volumen en una ampliavariedad de figuras y sólidos geométricos), la geometría no métrica focalizada en las construcciones geométricas con regla y compás y la teoría del razonamiento, demostraciones matemáticas y en teorías axiomáticas. Este trabajo tiene que ver especialmente con los problemas que surgieron con el desarrollo de la geometría no métrica. El objeto de esta geometría es la realización de construcciones...