Numeros cuanticos

NUMEROS CUADRATICOS
En Matemáticas, dentro de la Teoría de Números se denomina residuo cuadrático módulo m a cualquier entero r primo con m para el que tenga solución la congruencia:

O lo que eslo mismo cuando r es un cuadrado perfecto módulo m, y que por lo tanto tiene una raíz cuadrada en la aritmética de módulo m. A los enteros que no son congruentes con cuadrados perfectos módulo m seles denomina no-residuos cuadráticos. En adelante nos referimos a menudo a ellos como residuos y no-residuos.
Por ejemplo cuando el módulo es 13, los residuos son: 1, 3, 4, 9, 10 y 12, y los noresiduos 2, 5, 6, 7, 8, y 11. En general para determinar cuales son los residuos cuadráticos para un módulo dado, basta con determinar los restos de dividir por m a los cuadrados perfectos de los enterosprimos con m y menores o iguales a m / 2.
En el estudio de los residuos cuadráticos es conveniente limitarse al caso en el que el módulo es un primo p, ya que entonces tenemos un comportamiento muchomás sencillo, y muchas propiedades de los residuos para módulos generales pueden derivarse de este caso usando el teorema chino del resto, y otros resultados de la resolución de congruencias. Paraestudiar este caso es muy conveniente el uso del símbolo de Legendre, y de su extensión el símbolo de Jacobi.
Los residuos cuadráticos tienen varias propiedades muy sencillas de demostrar, por ejemplo elproducto de dos residuos o de dos no--residuos es un residuo y el producto de un residuo y de un no-residuo es un no-residuo. Por ejemplo en las listas del ejemplo anterior siempre que multipliquemosdos elementos de la misma lista obtenemos un número en la primera lista que es congruente con 4, que es un elemento de la primera lista. Mientras que si multiplicamos un elemento de la primera listapor uno de la segunda obtenemos siempre un elemento de la segunda lista que es congruente con 11 que está en la segunda lista).
a) La mitad de las p − 1 clases residuales módulo p son residuos y...