numeros de fibonacci

Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:
(3)
partiendo de dos primeros valores predeterminados:


se obtienen los siguientes números:






para 
Esta manera dedefinir, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.
Representaciones alternativas[editar · editar código]
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión)es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
Función generadora[editar · editar código]
Una función generadora para una sucesión cualquiera  es la función , es decir,una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de , loscoeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

Fórmula explícita[editar · editar código]
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términosanteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1),(2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales
 y 
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es , y sus raíces son

De esta manera, la fórmulaexplícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes  y  satisfacen la ecuación anterior cuando  y , es decir que satisfacen elsistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
(5)
Para simplificar aún más es necesarioconsiderar el número áureo

de manera que la ecuación (5) se reduce a
(6)
Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la...