Numeros Estelares

Organización del Bachillerato Internacional

Programa del diploma


Trabajo de Portafolio

Números estelares


Matemática nivel medio
Convocatoria: Noviembre 2013

Lima-Perú
2011

Los números estelares son aquellas series de números que están compuestos por las series triangulares, las cuales son las   que pueden recomponerse en la forma de un triángulo equilátero (por convención,el primer número triangular es el 1). Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras. Por otro lado, los Pitagóricos, consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, llamándolo trianón. La unión de estos, debe formar una estrella.

En esta tarea se considerarán figuras geométricas que llevan a números especiales. Entre ellos, elejemplo más sencillo lo constituyen los números cuadrados que pueden ser representados mediante cuadrados de lados 1, 2, 3 y 4 respectivamente.

Los siguientes diagramas muestran un diseño triangular de puntos uniformemente espaciados. Los números de puntos en cada diagrama son ejemplos de números triangulares (1, 3, 6,…).

TABLA I
Números triangulares |
Etapas | Imagen |
1 | |
2 | |
3| |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |

TABLA II
Número de puntos por fase |
Fase | Número de puntos |
1 | 1 |
2 | 3 |
3 | 6 |
4 | 10 |
5 | 15 |
6 | 21 |
7 | 28 |
8 | 36 |

Al analizar la tabla, se puede observar que el número de puntos forman una sucesión:

1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 |

+2 +3 +4 +5+6 +7 +8

En donde:

* T1=1
* T2=1+2=3
* T3=1+2+3 ó 1+5=6
* T4=1+2+3+4 ó 1+9=10
* T5=1+2+3+4+5 ó 1+14=15
* T6=1+2+3+4+5+6 ó 1+20=21
* T7=1+2+3+4+5+6+7 ó 1+27=28
* T8=1+2+3+4+5+6+7+8 ó 1+35=36

Nos percatamos que el número de puntos es igual a la suma de los términos de una progresión aritmética en donde la razón es 1. Por lotanto la fórmula para hallar la suma de una sucesión aritmética es:
St=n(t1+tn)2
En donde St es el número de puntos por fase; t1 el primer término, que en este caso siempre será 1; y por último n & tn tendrán el mismo valor, que será igual al número de fase. Por lo tanto:
* St = número de puntos, representado por S
* T1 = primer término, que se mantiene constante como 1
* n &tn = número de fase, representado por f
Entonces:
S=f(1+f)2~f2+f2
Comprobemos:
En base a los dibujos iniciales, se sabe que:
1. Para la fase 6 hay 21 puntos.
S=62+62=422=21
2. Para la fase 8 hay 36 puntos.

S=82+82=722=36

Ahora se comprobará la fórmula, hallando el número de puntos en la fase 9. De acuerdo a la TABLA II, en la fase 8 hay 36 puntos, por lo tanto, en la fase 9 hay(36+9) 45 puntos.

S=92+92=902=45

Después de la comprobación, se afirma que la fórmula deducida es correcta.

A continuación se considerarán las figuras estelares con forma de estrella de p vértices que llevan a los números p-estelares. Seguidamente, se observan en diferentes etapas, en donde son representaciones correspondientes a una estrella de seis vértices. El número 6-estelar encada etapa es el número total de puntos que contiene el diagrama.
TABLA III
Figuras estelares |
Etapas | Figura |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |

TABLA IV
Número de puntos por etapa |
Etapa | Número de puntos |
1 | 1 |
2 | 13 |
3 | 37 |
4 | 73 |
5 | 121 |
6 | 181 |

Al igual que en el primer ejercicio, se forma una sucesión entre los números depuntos.


1 | 13 | 37 | 73 | 121 | 181 |

+12 +24 +36 +48 +60
En donde:

* T1=1
* T2=1+12=13
* T3=1+12+24=37
* T4=1+12+24+36=73
* T5=1+12+24+36+48=121
* T6=1+12+24+36+48+60=181

Se puede observar que el número de puntos es igual a la suma de los términos de una progresión...