Numeros Naturales

Sistema Numérico
Se llama sistema numérico al conjunto ordenado de símbolos o dígitos y a las reglas con que se
combinan para representar cantidades numéricas. Existen diferentes sistemas numéricos, cada uno
de ellos se identifica por su base.

Definición de números naturales
Con origen en el latín numĕrus, el concepto de números hace referencia a los signos o conjunto de signos quepermiten expresar una cantidad con relación a su unidad. Existen distintos grupos de números, como los números enteros, los números reales y otros.
Los números naturales  son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son númerosnaturales.
Existe una controversia respecto a considerar al cero (0) como un número natural. Por lo general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo, mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo.
Podría decirse que los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué posición ocupa un elementodentro de una secuencia ordenada.
Los números reales pertenecen al conjunto de los números enteros positivos: no tienen decimales, no son fraccionarios y se encuentran a la derecha del cero en la recta real. Son infinitos, ya que incluyen a todos los elementos de una sucesión (1, 2, 3, 4, 5…).
Sin embargo, los números naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones de suma ymultiplicación ya que, al operar con cualquiera de sus elementos, el resultado siempre será un número natural: 5+4=9, 8×4=32. No ocurre lo mismo, en cambio, con la resta (5-12= -7) o con la división (4/3=1,33).

Cerraduras
Si R es una relación sobre un conjunto A y R no
posee alguna propiedad en particular, pueden
agregarse a R pares relacionados hasta lograr
que la relación cumpla con la propiedaddeseada.
Las cerraduras o cierres son:
 Cerradura Reflexiva
 Cerradura Simétrica
 Cerradura Transitiva
Cerradura Reflexiva
Sea R una relación no reflexiva sobre el conjunto A.
La relación reflexiva R1 más pequeña que contenga
a R, es R unida a la relación diagonal de A (A).
Ejemplo: Sea R = {(1,1), (1,2), (2,1), (3,2)} en el
conjunto A = {1, 2, 3}.
R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2),(3,2), (3,3)}
R1 se forma añadiendo todos los pares de la forma
(a,a) con a ∈ A que no estén en R.
Cerradura Simétrica
Sea R una relación no simétrica sobre el conjunto A.
La relación simétrica R1 más pequeña que contenga
a R, es R unida a la relación inversa de R (R1).
Ejemplo: Sea R = {(1,1), (1,2), (2,3), (3,1), (3,2)} en el
conjunto A = {1, 2, 3}.
R1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1),(2,3), (3,1), (3,2)}
R1 se forma añadiendo todos los pares de la forma
(b,a) con (a,b) ∈ R que no están en R.
Cerradura Transitiva
Sea R una relación no reflexiva sobre el conjunto A.
La relación reflexiva R1 más pequeña que contenga
a R, es R unida a la relación diagonal de A (A).
Ejemplo: Sea R = {(1,3), (1,4), (2,1), (3,2)} en el
conjunto A = {1, 2, 3,4}.
R1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(2,1), (2,2), (2,3), (2,4),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}
R1 se forma añadiendo todos los pares de la forma
(a,c) tales que (a,b) y (b,c) ya están en R.

Ley asociativa, conmutativa, distributiva y cancelativa.

Suma o adicion.
1.- axioma de uniformidad:


Propiedades de la igualdad
Relación Reflexiva
Definici´on
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que
n R es reflexiva si :∀x, (x ∈ A → (x, x) ∈ R).
Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener
al menos n flechas (suponiendo que n es el número
de elementos de A): deben estar todas las parejas
(a, a) donde a barre todos los elementos de A.
Relación Simétrica
Definici´on
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que
R es simétrica si
∀x, y, ((x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R).
Que no nos engañe la...