numeros naturales

Los números naturales

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar:  ={1,2,3,4...}


Con los números naturales   se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.
Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.
El infinito de los números naturales se denomina infinitonumerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerablescomo se verá más adelante.
El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales,  e , o bien , o bien.
Todo subconjunto  no vacío del conjunto de losnaturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento  tal que para todo  de  se tiene . 
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.
Principio de inducción matemática: si un subconjunto  de  verifica que  y, si , resulta que , entonces .
Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad secumple para todo  natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los  primeros números naturales es  podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:
Para  es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es . 
Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también es cierta para ,

Luego la fórmula es válida para todo n natural.
Ejercicio: Demostrar,razonando por inducción, las siguientes fórmulas:


Dados dos números naturales , no es cierto en general que exista un natural  tal que . Si tal  existe se denomina cociente exacto de  por , y la división se denominaexacta. En este caso se dice que es divisible por , o que  es un divisor de , o que es un múltiplo de . 
Cuando no es así, siempre es posible encontrar  y  que verifiquen  con  Losnúmeros , ,  y  se denominan dividendo, divisor, cociente y resto respectivamente y el procedimiento para determinar  y  a partir de  y  se denomina división entera.
 
Descomposición en factores primos:
 
Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.
Hay infinitos números primos. Unfamoso procedimiento para encontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes, que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado previamente. 
  





El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía (ocultación de secretos).
Todo número natural admite unadescomposición en producto de números primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos ejemplos.

Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningún algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos se basan en este problema.
  
 
Máximocomún divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides.

El máximo común divisor de dos números se define, como su propio nombre indica, como el divisor más grande que ambos números tienen en común. Si disponemos de la factorización de ambos números, entonces el máximo común divisor se obtiene quedándose solamente con aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de...