numeros perfectos

Curiosidades de los números perfectos
Una de las curiosidades es la forma de encontrar los números perfectos, los primeros de estos fueron encontrados mediante el teorema de Euclides.
En el libroIX de los Elementos, Euclides nos deja perplejos con su proposición 36, que proporciona un método original para encontrar números perfectos.
"Si tantos números como se quiera a partir de una unidadse disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto"
En lenguaje actual:
"Si la suma de las nprimeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto".
Si (1+2+22+...+2n) es primo, entonces (1+2+22+...+2n)·2n es perfecto.Otra vez Euler:
Demuestra el recíproco del teorema de Euclides sobre números perfectos.
Desde entonces se conoce como Teorema de Euclides-Euler                                                     Si N es un número perfecto y par, entonces N = 2 k-1 (2 k-1), donde 2 k-1 es un número primo

Pero en este teorema hay una palabra que deja la historia abierta a futuras generaciones dematemáticos: PAR.
Hasta ahora todos los números perfectos encontrados son pares.
El interrogante para este tipo de números perfectos es muy grande. En los últimos siglos varios resultados han arrojado algo deluz sobre ellos, y cada vez parece más probable que no existan. En concreto, se sabe que:
-Un número perfecto impar no puede ser divisible por 105.
-Debe tener al menos 8 factores primos diferentes.-Debe ser mayor que 10300
- Su segundo mayor factor primo debe ser mayor que 1000.
-La suma de los inversos de los números perfectos impares es finita.

Otra de las curiosidades es larepresentación binaria de dichos números

En la tabla anterior se puede ver que la representación binaria de los números perfectos es muy especial, ya que en todos los casos la cantidad de unos es un...