Numeros Primos Ye Hipotesis De Riemman

Números Primos
y la

Hipótesis de Riemann

Leonardo Damian Cappelletti
2008

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Objetivo del texto

El objetivo de este breve texto es ser un nexo entre las muchas
explicaciones elementales de la hipótesis de Riemann y los Números
Primos, con los complejos y elaborados libros escritos por reconocidos
matemáticos. Se ha intentado mantener una línea simple entre el
concepto denúmero primo y los desarrollos realizados por Riemann
hasta su conocida Hipótesis, y la consecuencia de ésta sobre la teoría de
números. Para explicaciones más exhaustivas o desarrollos
contemporáneos, se puede consultar la bibliografía citada al final del
presente texto y a partir de éstas consultar otras que pueden
proporcionar más claridad sobre el tema.

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Índice

1 Introducción a losNúmeros Primos……………………………….4

2 La función Zeta y los Números Primos……………………………6

3 La función Contadora de Primos y los Números Primos………....11

4 La función Contadora de Primos y la función Zeta……………….18

5 La función Contadora de Primos de Riemann…………………….22

6 Formas integrales de la función Zeta……………………….……..20

7 La ecuación funcional………………………………………….….35

8 La funciónXis……………………………………………………..39

9 La función Xis y la representación en productos infinitos…….….43

10 Relación entre la ceros y la función Contadora de Primos………46

11 Determinación de los ceros no triviales de la función zeta………61

12 Comentarios finales………………………………………………73

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Capítulo 1
Introducción a los Números Primos
Desde hace 2500 años los números primos atraen la atención de matemáticos yaficionados de
todo el mundo, se los califica de misteriosos e indomables ya que no parece existir alguna
regla que determine sus ubicaciones entre los demás números naturales.
Se define un número primo como aquel número natural que es solo divisible por si mismo y
por la unidad, por definición el número 1 no se considera número primo.
El concepto de número primo ya se conocía en la antigua Greciaen la escuela de Pitágoras
(hace 2500 años) y un poco después en las obras de Euclides se incluye la demostración de la
existencia de una cantidad infinita de estos números.
Un antiguo y efectivo método para hallar números primos es la criba de Eratóstenes, que
consiste en una tabla de números naturales dispuestos en columnas, primero se tachan todos
los múltiplos de 2, luego se tachan todoslos múltiplos del siguiente número no tachado
anteriormente y así sucesivamente, los números que quedan sin tachar son los números
primos.

Tabla 1: Criba de Eratóstenes
Para saber si un número es primo basta dividirlo por todos los números naturales menores a la
raíz cuadrada de dicho número y si no se encuentra ningún divisor entonces el número es
primo. Si se encuentra un divisor o si elnúmero es par y mayor que 2 se dice que es un
número compuesto. Los números primos son importantes porque son los átomos de las
matemáticas, ya que todos los demás números se construyen a partir de ellos en forma de
productos.

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Figura 1: Ejemplo de factorización
A medida que avanzamos en la recta numérica los números primos son cada vez más escasos
y la distancia entre primosconsecutivos se va haciendo cada vez más grande, a estas
distancias que son regiones libres de primos se las denomina lagunas o desiertos.

Tabla 2: Números primos entre el 1 y el 1000.

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Capítulo 2
La función Zeta y los números primos
Fue Euler en su publicación de 1794 ¨Introductio in analysin infinitorum¨, quien demostró la
relación entre la función zeta y los números primos, que mástarde se conocería como
producto de Euler.
Se redefine la función zeta como la función armónica generalizada.
∞

1
s
n =1 n

ζ ( s) = ∑

(2.1)

Expandiendo, nos queda la sumatoria infinita

ζ ( s) = 1 +

11111
1
+ s + s + s + s + s + …………
2s 3 4 5 6 7

(2.2)

s

si se multiplican ambos miembros de (2.2) por 1 2 nos queda

1
1
1
11
1
1
ζ ( s ) = s + s +...