Numeros Racional

NÚMEROS RACIONALES

En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador distinto de cero b. El término racional alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien, enBlackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La representación decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para la representación de números en base 10 (sistema decimal), también lo es en basebinaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una representación (en cualquier base entera) finita o periódica, es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la representación decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.
En sentido estricto, número racional es elconjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre.
CONSTRUCCIÓN FORMAL

Se puede ver un número racional como la clase de equivalencia deun par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:
Demostración:

El conjunto de los números racionales.

ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Definición de suma y multiplicación en Q
* Se define la SUMA 

* Se define la MULTIPLICACIÓN 

* Relaciones de equivalencia y orden en Q

* Se define la equivalencia  cuando 
* Los racionales positivosson todos los  tales que 

* Los racionales negativos son todos los  tales que 

* Se define el orden  cuando 

EXISTENCIA DE NEUTROS E INVERSOS
* Para cualquier número racional:  se cumple que  entonces  es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.

* Para cualquier número racional:  se cumple que  entonces  es el neutro multiplicativo de los racionales y se ledenota por 1.

* Cada número racional:  tiene un inverso aditivo  tal que 

* Cada número racional:  con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo  tal que 

EQUIVALENCIAS NOTABLES EN Q
Todo número entero  se puede escribir como fracción 

*  con  y 

*

*

*  con  y 

*  con  y.

PROPIEDADES

* El conjunto, con las propiedades de adición ymultiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros.

* Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.

* La clausura algebraica de, es el conjunto de los números algebraicos.

* El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre  y  (tienen la misma cantidad de elementos). Elconjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).

* Propiedad arquimediana: el conjunto  es denso en  por construcción misma de ; es decir, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos.

ESCRITURA DECIMAL

Representación racional de los números decimalesTodo número real admite una representación decimal ilimitada, la cual es única si se excluyen secuencias infinitas de 9.

Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera:

* Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como...