Numeros Racionales Reales Inracionales E Imaginarios

Los números racionales


Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),
={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }

Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
El producto de dos racionales a/b y c/d se define comoac/bd.
Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.

(En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros)
Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpoconmutativo.
En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.
En se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en y en . Para ello basta con definirlo como sigue:

Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos(esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que si y sólo si respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.
Por tanto con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.


Densidad del orden:
Dados dos números racionales distintos, ,siempre existe otro número racional tal que .
Para ello, si , con b y d positivos, basta con tomar

Ejercicio: probar que efectivamente (por ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)
Ahora bien, reiterando el proceso de intoducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos,

Por ejemplo, ahora entre3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.
por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.

Propiedad arquimediana (o deArquímedes):
Dados dos números racionales y , siempre existe un n natural tal que . Esto quiere decir que por pequeño que sea , si consideramos la sucesión de racionales , llegará un momento en que sobrepasasaremos a , por muy grande que este sea.
Por ejemplo:


Esta es una propiedad que también poseían los números naturales y los enteros.

El cardinal de los racionales:
¿Cuántos númerosracionales hay? ¿Qué hay más, naturales o racionales?

Puede parecer que la respuesta sería, obviamente hay más racionales, puesto que los naturales son también números racionales, y además hay otros racionales, como 1/2 por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de los racionales es que el de los naturales.
Pero podemos también probar que hay más naturales queracionales. Una forma de hacerlo sería seguir el siguiente razonamiento gráfico. Coloquemos los enteros en un eje horizontal, y también en un eje vertical. Cada punto (a,b) del retículo que se forma representará al racional a/b. Comenzamos ahora a trazar un camino en espiral, partiendo del origen que recorra uno a uno todos los puntos del retículo como se ve en la siguiente gráfica:






Esclaro que podemos poner en correspondencia biyectiva los puntos del retículo con los naturales sin más que irlos numerando a medida que la linea espiral pasa por cada uno de ellos. Ahora bien, no todos los puntos del retículo se corresponden con números racionales, ya que los de la forma (n,0) no se corresponden con ningún racional, y además muchos puntos del retículo representan al mismo...