numeros reales. comjunto



NUMEROS REALES ()

Definición.- El sistema de números reales es un conjunto no vacío dotado de dos operaciones internas llamadas adición y multiplicación y de una relación de orden mayordenotada por ‘ >’

Axiomas para la adición.

1.  (a) (b) ε R  a + b ε R (Clausura)
2. a + b = b + a (Conmutativa)
3. a + (b + c) = (a + b) + c (Asociativa)
4.  (a) ε R;  0/a + 0 = a(Elemento Neutro)
5.  (a) ε R;  (-a) / a + (-a) = 0 (Elemento Inverso)

Axiomas para la Multiplicación.

1.  (a) (b) ε R  (a . b) ε R (Clausura)
2. a b = b a (Conmutativa)
3. a( b c ) = ( a b ) c (Asociativa)
4.  (a) ε R;  1 / a . 1 = a (Elemento Neutro)
5.  (a) ε R;  a-1 / a . a-1 = a . 1 = 1 (Elemento Inverso)
a
Axiomas de orden.

1. Ley de laTricotomía.

 (a) (b) ε R  Se cumple que: a > b, a < b, a = b

2. Ley Transitiva. Si a < b  b < c  a < c

3. Ley de la Monotonía.i) Si a < b  a + c < b + c  (c) ε R
ii) Si a < b  c > 0  a c < b c
iii) Si a < b  c < 0  a c > b c

4. Leyes para R+ : SiR+  R

a) Si a ε R+  b ε R+  (a + b)  (a.b) ε R+
b) Para a ≠ 0: a ε R+  - a ε R+, pero no ambos
c) 0  R+
INTERVALO

Se llama intervalo al conjunto de númerosreales comprendidos entre otros dos dados: “a” y “b” que se llaman extremos del intervalo.


Operaciones con Intervalos

Como los intervalos en la Recta Real son conjuntos de números, lasoperaciones entre ellos se realizan aplicando los mismos procedimientos de operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica, complemento, etc. Los resultados de lasoperaciones con intervalos se pueden expresar en notación de intervalo, en notación de conjunto o gráficamente.

Las aplicaciones lo veremos en los problemas propuestos.

EJERCICIOS

1.- A = {...