Numeros Reales, Numeros Racionales, Axiomas De Peano Y Propiedades De La Suma Y Resta

NUMEROS REALES En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Los números reales pueden ser descritos y construidos de variasformas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y seusaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definicionesprecisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
AXIOMAS DE PEANO Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas aritméticos ideados por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acercade la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números. Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:
1. El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números naturales.
2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Sihay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de n. naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.
Hay un debate sobre si considerar al 0como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:
1. El 0 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 0 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismosucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asosiativa, distributiva y elemento neutro. Propiedad conmutativa: Cuando sesuman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4 Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4) Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al númerooriginal. Por ejemplo 5 + 0 = 5. Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3
 Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, el resultado no cambia: a+b=b+a.
 Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman...