Numeros Reales Sec

Unidad 1

Los nú meros reales

En esta unidad Una de las herramientas más poderosas de las matemáticas es el cálculo. Su
evolución ha ocurrido de manera paralela a los diferentes sistemas numéricos, desde los primeros conteos hasta la era tecnológica. El cálculo fundamenta su estudio en las propiedades de los
números reales. En esta unidad estudiaremos los axiomas fundamentales, los de orden ylos de
completitud como preámbulo para otras aplicaciones más complejas.
Competencia específica
Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades
de primer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto,
representando las soluciones en la recta numérica real.

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UNIDAD 1 Los números real es

1.1

Los números reales

Hoy en día la ciencia y latecnología han alcanzado niveles extraordinarios. El desarrollo de la
física, la química, la biología, la astronomía, la medicina, la ingeniería y muchas ramas más, fundamentan su progreso en la aplicación de una de las herramientas más poderosas de las matemáticas: el cálculo infinitesimal.
En términos históricos el desarrollo del cálculo se produjo al buscar soluciones a problemas
de la vida real,entre los más conocidos podemos mencionar:
• Describir la velocidad de una partícula con velocidad constante.
• Determinar la ecuación de la tangente a una curva en un punto.
• Analizar la razón de cambio entre dos variables.
• Calcular el área de una superficie y el volumen de un sólido.
El cálculo sustenta su estudio en el conjunto de los números reales, por esta razón es necesario
conocer susaxiomas y sus principales propiedades.
Existen diversas maneras de iniciar el estudio del sistema de los números reales, pero una
de las más utilizadas considera los sistemas numéricos más sencillos, el primero de ellos es el
conjunto de los números naturales.

Definición del conjunto de números naturales
El conjunto de los números naturales se denota por N, y se define como
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, ... }
Una de las primeras aplicaciones de las matemáticas en la vida real ha sido el conteo y los números naturales han sido la herramienta. Entre las propiedades más importantes de este conjunto
podemos mencionar la existencia de un orden, la existencia del 1 como primer elemento, que
todo número natural tiene otro como sucesor y que todo número natural , excepto el número 1,
tiene otronúmero natural como antecesor. En términos formales se tiene:
1 Propiedades de los números naturales

Los números naturales están
contenidos en los números
enteros 1'\:J e 71.

l.

1 < n para todo n E N.

2.

Si k

E

N se define su sucesor como k+ 1 y además k+ 1 E N.

3.

Si k

E

N, k"#- 1, se define su antecesor como k- 1 y además k+ 1 E N.

En N se definen dos operaciones: la suma y elproducto. Se verifica que ambas operaciones son
cerradas, conmutativas y asociativas, la suma distribuye respecto al producto. El número natural 1 es el neutro multiplicativo. Sin embargo, estas propiedades no son suficientes para describir algunos fenómenos físicos , por ejemplo, las temperaturas bajo cero, las altitudes por debajo
del mar o la distancia entre dos puntos iguales; en concreto, carecen deun elemento neutro adi. tivo y de inversos aditivos.
______
....
Un conjunto "más grande" que resuelve este inconveniente se define como el conjunto de
los números enteros.

Definición del conjunto de los números enteros
Se define el conjunto de los números enteros como
Z = { . . . , -2, -1 , O, 1, 2, ... }
_La resta de dos números es una ....
operación derivada de la suma,
y se defi ne como lasuma de un
número con el inverso aditivo de
otro.

En Z también están definidas las operaciones de suma y producto que son, de nueva cuenta,
cerradas, conmutativas y asociativas, también se verifica la propiedad distributiva de la suma,
existe el elemento neutro multiplicativo, pero además se agregan-el "cero" como elemento neutro aditivo y los "números negativos" como inversos aditivos. Estas...