Numeros reales

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Números reales

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS NÚMEROS REALES
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son aquellos que sirven para designar la cantidad de elementos que posee un 1 cierto conjunto . Se representan como N. N = 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , ⋅ ⋅ ⋅

{

}

Los números naturales son infinitos, puespara cada uno de ellos hay otro distinto que le sucede y que no le precede. Se habla del orden en estos números a través de su propiedad de tricotomía afirmando que dados n y m dos números naturales, entonces se tiene exactamente una de las tres posibilidades:

nm
Gráficamente, este conjunto se puede representar mediante una recta numérica en donde los números son los puntos:

0

1

2

34

5

6

7

8

9

10

11

N

Una operación en N es una manera de asociar a cada par de números naturales, otro número natural bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma y la multiplicación. Sean a , b y c tres números naturales cualesquiera. Las propiedades básicas de las operaciones definidas en N son: 1. Cerradura:

a + b ∈N a ⋅b ∈N
2.Asociatividad:

a ⋅ (b ⋅ c ) = (a ⋅ b ) ⋅ c
1

a + (b + c ) = (a + b ) + c

Existen autores que definen al conjunto de los números naturales como aquellos que sirven para contar, por lo que inician en el uno. Si incluyen al cero lo definen como conjunto de números naturales ampliados o como números completos.

1

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3. Conmutatividad:

a+b =b+a a ⋅b = b⋅a

4. Elementos neutros Para la suma es el cero ya que: a + 0 = a Para el producto es el uno ya que: a ⋅1 = a 5. Distributividad La propiedad distributiva del producto sobre la suma es: a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c Ejemplo. Dados los números Solución. Cerradura:

2 , 3 y 5 , comprobar las propiedades de la suma y delproducto.

2 + 3 = 5∈N 2 ⋅ 5 = 10 ∈ N

Asociatividad:

2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 = 10 2 ⋅ (3 ⋅ 5) = (2 ⋅ 3) ⋅ 5 = 30
2+3 = 3+ 2 = 5 2 ⋅3 = 3⋅ 2 = 6

Conmutatividad:

Los elementos neutros: Para la suma es el cero ya que: 2 + 0 = 2 Para el producto es el uno ya que: 2 ⋅1 = 2 Distributividad del producto sobre la suma es: 2 ⋅ 3 + 5 = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 = 16 Un número es múltiplo de otro si seobtiene multiplicando este último por un número natural. Por ejemplo el número 10 es múltiplo del 5 ya que 10 = 2 5 . Las propiedades de los múltiplos son:
• • • • •

(

)

( )( )

El cero es múltiplo de cualquier número Un número siempre es múltiplo de si mismo La suma de múltiplos de un número también es un múltiplo de este número El producto de múltiplos de un número también es múltiplode este número Si un número es múltiplo de otro y este lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

Ejemplos. El número 7 es múltiplo del 7 El número 18 es múltiplo del

El número 0 es múltiplo del 6 ya que 0 = 0 6

12 también es múltiplo del 3 ya que 12 = (3)(4 ) , por lo tanto, el número 30 = 18 + 12 es múltiplo del 3 ya que 30 = (3)(10) El número 6 es múltiplo del 2 ya que 6= (2)(3) y el número 8 también es múltiplo del 2 ya que 8 = (2)(4) , por lo tanto, el número 48 = (6)(8) es múltiplo del 2 ya que 48 = (2)(24)
y el número 2

( )( ) ya que 7 = (1)(7 ) 3 ya que 18 = (3)(6)

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El número 20 es múltiplo del 10 ya que 20 = 10 2 , pero a su vez el número 10es múltiplo del 5 ya que 10 = 5 2 , por lo tanto, el número 20 es múltiplo del 5 ya que 20 = 5 4

( )( )

( )( )

( )( )

Un número natural es divisor de otro si cuando se divide el primero entre el segundo el residuo es cero, es decir, si la división es exacta. Por ejemplo el número Las propiedades de los divisores son:
• • •

2 es divisor del 6 ya que

6 =3. 2

El número uno es...