Numeros reales

1. Clasificación de los números reales.
En Cálculo diferencial se trabaja con los números reales, antes que nada tenemos que conocer al conjunto de los números reales (se designa por la letra R) para así poder operar con y sobre ellos .Los números reales se clasifican en:
1) El conjunto de los números naturales (N). Son números que se utilizan para contar, y es el conjunto de losnúmeros enteros positivos excluyendo el cero.
N={1,2,3,4,5,…}
2) El conjunto de los números enteros (Z). Son los enteros positivos y negativos más el cero. El conjunto de los números naturales esta incluido dentro del conjunto de los números enteros.
Z={…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
3) El conjunto (Q) de los números racionales. Vienen a ser los quebrados o números fraccionarios y queson números cuya expresión es de la forma n/m donde n y m son enteros y m diferente de cero. El conjunto de los números enteros esta dentro del conjunto de los números racionales.
Q={…,-n/m,…,-1,…,-4/5,…,-2/3,…,-1/2,...,0,...,1/2,…,2/3,…,4/5,…,1,…,n/m,…}
4) El conjunto (I) de los números Irracionales. Son los números no racionales. Usted ya ha utilizado el conjunto de los irracionales (I;quizá no los conoce con este nombre) pero son los números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros, como por ejemplo: el número [pic], empleado para calcular el área de un círculo; el número [pic]que es la base del logaritmo natural y, en fin, la raíz cuadrada de los números que no son cuadrados perfectos, por ejemplo, la raíz cuadrada de 2,3,5,6,7,8,etc.
CLASIFICACION DE LOSNUMEROS REALES
SE CLASIFICAN EN: RACIONALES E IRRACIONALES
Un numero racional es un numero real que se puede expresar como el cociente a/b de dos números enteros a y b con b diferente de cero. Los números reales que no son racionales se llaman irracionales. Por ejemplo, la razón del perímetro de una circunferencia a su diámetro es irracional. Este número real se denota por P y se escribe P =3.1416 para indicar que P es aproximadamente igual a 3.1416. Otro ejemplo de un numero irracional es Ö 2.
Los números reales se pueden representar por expresiones decimales infinitas. Por ejemplo, realizando la división puede verse que la representación decimal del numero racional 177/55 es 3.2181818..., en donde los dígitos 1 y 8 se repiten indefinidamente. Los números reales pueden representarsesiempre por expresiones decimales periódicos, es decir, en las que hay una combinación de dígitos que se repiten indefinidamente. Los números irracionales pueden representarse por expresiones decimales infinitos no periódicos.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
1) Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.
2) Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) Sean a,b,cpertenecientes a los reales.
3) Existencia de elemento inverso (inverso aditivo): a+(-a)=0
4) Existencia de elemento neutro: a+0 =a
5) Propiedad Conmutativa del producto: a.b=b.a
6) Propiedad Asociativa del producto: ( a.b).c= a.(b.c)
7) Existencia de elemento inverso: a.1/a = 1
8) Existencia de elemento neutro (del producto) : a.1 = a
9) Propiedad Distributiva: (a+b).c = ac+bc (a.b)+c=(a+c).(b+c)10) Tricotomía: a>b, a<b o a=b
11) Monotonía de la suma
12 Monotonía del producto.
13) Propiedad Transitiva a>b>c entonces a>c
14) Propiedad Uniforme.
Interpretación geométrica de los números reales.
Representación geométrica
Orden en el conjunto de los números reales
a) Representación de los números reales
Es posible establecer una correspondencia entre los números realesy los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera.
Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en...