Numeros Reales

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
DEFINICIÓN: Se llama sistema de los números reales a un conjunto no vacío denotado
por , dotado de dos operaciones internas, llamadas adición y multiplicación denotada
por:
: x
: x
a, b
a b
a, b
a.b
Y una relación de orden mayor, denotada por “>”, que satisface los axiomas siguientes:
Axiomas de suma:
, a, b
A.1. a b
Clausura

A.2. a b b a, a, bA.3. a b c a b c , a, b, c
A.4.

a
a

, !0
/a 0 0 a
, ! a
/a
a

A.5.
inverso aditivo.
Axiomas de multiplicación:
, a, b
M.1. a.b
M.2. a.b b.a, a, b
M.3. ab c a bc , a, b, c

M.4. a
, !1
/ a.1 1.a
multiplicativo
, ! a
/ a.a
M.5. a 0

Conmutativa
Asociativa
a . Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
a a 0 . Existencia y unicidad del elemento

ClausuraConmutativa
Asociativa
a . Existencia y unicidad del elemento neutro
1

a 1a 1 . Existencia y unicidad del elemento inverso

multiplicativo
Axiomas de distributivos: Si a, b, c
D.1. a b c ab ac
D.2. b c a ba ca
Axiomas de Igualdad. a, b, c
I.1. a b ó a b
I.2. a a
I.3. Si a b
b a
I.4. Si a b b c a c
I.5. Si a b
a c b c, c
I.6. Si a b
a.c b.c, c
Axiomas de orden
O.1. Para dosnúmeros a
yb
verdadero
a b, a b, a b
O.2. Ley transitiva:
Si a b b c a c
O.3. Ley de monotonía:
a) Si a b a c b c, c

Dicotomía
Reflexiva
Simetría
Transitiva
Unicidad de la adición
Unicidad de la multiplicación
, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es

Consistencia aditiva

b) Si a b y c 0
c) Si a b y c 0

ac bc Consistencia multiplicativa
ac bc Consistenciamultiplicativa

Definición de diferencia de números reales
Sean dos números a
yb
inverso aditivo de b. Esto es:

, se define la diferencia de a y b como la suma de a con el
a b a ( b), a, b

Ejercicios
1. Demostrar que: -0 = 0
Demostración:
0
0 0
A4
0
A5
2. Demostrar que: a.0=0
Demostración:
a.o a.o 0
a.o

A4

a.o ( a.0)

a.o a.0
=a. 0 0

A5

( a.0)

A3

( a.0)

D1

=a.0( a.0)

A4

a.o=0
A5
3. Demostrar que: -a=(-1)a
Demostración: Debemos demostrar que: a+(-1)a=0
a+(-1)a = 1.a + (-1)a …M4
= [1+ (-1)]a …D2
= 0.a=a.0
…A5, M2
=0
Ejercicio 2.
4. Demostrar que: a(-b) = -(ab) = (-a)b a, b
5. Demostrar que: -(-a) = a a
6. Demostrar que: (-a) (-b) = a b, a, b
1

7. Si a

0, demostrar que: a

8. Si a

0, demostrar que: a

9. Demostrar que: ab10. Demostrar que

a
b

1

0

a 1b

c
d

1

1

a

1

ad cb
, Con b
bd

0yd

0

ECUACIONES DE UNA VARIABLE
ECUACIONES LINEALES. Son expresiones algebraicas que tienen su origen en un
polinomio de primer grado o lineal en una variable x, tal como:
p( x) ax b, a,b
, con a 0
Ejemplo:
p( x) 2x 4; p( x) x 1
La solución de una ecuación lineal con una sola variable,es encontrar un valor de la
variable x tal que p( x) 0 .
Es decir resolver una ecuación, tal como ax b 0 , entonces hallamos el número que al
reemplazar a x, hace de los miembros de la ecuación un mismo número. El resultado de
esta ecuación lineal ax b 0 , lo enunciamos en la forma del teorema siguiente:
Teorema 01: Si a, b y x están en

a)Si ax b 0

ax b

b

y si a

0

0 ,entonces ax b 0 si y sólo si x

DEMOSTRACIÓN
b

ax 0 -b
-b

a -1ax

a -1a x

a -1b

ax

x

b)Si x

a -1b

a -1 -b
1.x

a -1b

a -1 b

ax

a

a -1b

ax

a a -1 b

ax

1 b

ax

b

ax b

b

b

ax b 0

Ejemplos01: Resolver la ecuación: 5x 3 2 x 9
Resolución:
5x 2 x 3 3 2 x 2 x 3 9 3x 12 x 4
Ejemplos02: Resolver la ecuación: 3x 4(6 x) 15 6 x
Teorema02: Sean a, b
, si a.b 0 a 0 b 0
a
0
Teorema 03: Sean a, b
, tal que b 0 , entonces
b
Teorema 04: a2 b2
.
a b a
b , a, b
Teorema 04: Sean a, b

con b 0 , a 2

b

a

b a

a

0

bç

a -1b

ECUACIONES CUADRÁTICAS
Definición. Una ecuación cuadrática en la variable x es una ecuación del tipo:

ax2 bx c 0, con a 0
Donde a, b y c son constantes.

SOLUCIÓN DE...