numeros reales

NÚMEROS REALES
Recordemos que los números naturales son las cantidades enteras:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...
Son los más elementales y básicos entre los diferentes tipos de números. Cualquier entidad
discreta puede cuantificarse mediante el uso de números naturales: podemos hablar de veintisiete
ovejas en un prado, de dos relámpagos, doce noches, mil palabras, cuatroconversaciones, cero
ideas nuevas, un error, seis ausentes, dos cambios de dirección, etc. Los números naturales
pueden sumarse o multiplicarse para dar nuevos números naturales. Son los objetos de nuestra
discusión general de los algoritmos, como la que se dio en el capítulo precedente. Sin embargo,
algunas operaciones importantes pueden llevarnos fuera del dominio de los números naturales; la
restaes la más sencilla de éstas. Para definir la resta de una forma sistemática necesitamos los
números negativos; podemos establecer, para este propósito, el sistema global de los enteros
..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...





1 Véase Mandelbrot (1986). La particular secuencia de ampliaciones que he escogido está adaptada de las de Peitgen y Richter
(1986), en donde seencontrarán muchas imágenes notablemente coloreadas del conjunto de Mandelbrot. Para más ilustraciones
sorprendentes, véase Peitgen y Saupe (1988).
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ROGER PENROSE - LA MENTE NUEVA DEL EMPERADOR



Ciertas cosas, como la carga eléctrica, los balances bancarios o las fechas* se cuantifican
mediante números de este tipo. Pese a todo, estos números son aún de alcance demasiadolimitado puesto que nos quedaríamos bloqueados cuando tratáramos de dividir un número por
otro. En consecuencia, necesitaremos las fracciones o números racionales como son llamados
0, l,-l, 1/2, -1/2, 2,-2, 3/2, -3/2, 1/3,..
Esto es suficiente para las operaciones de la aritmética finita, pero para muchos otros propósitos
necesitamos ir más allá e incluir operaciones infinitas o de paso al límite.Por ejemplo, la
familiar — y de gran importancia en matemáticas — cantidad π aparece en muchas de estas
expresiones infinitas. En particular, tenemos
π =2[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....]
π =4(1-31 +51 -71 +91 -111 ....).
Estas son expresiones famosas, habiendo sido encontrada la primera por el matemático,
gramático y experto criptógrafo inglés John Wallis en 1665; y la segunda por elmatemático y
astrónomo escocés (e inventor del primer telescopio reflector) James Gregory en 1671. Como
sucede con π , los números definidos de esta forma no deben ser racionales (esto es, no de la
forma n/m, en donde n y m son enteros con m distinto de cero). El sistema de números necesita
ser ampliado para poder incluir tales cantidades.
Este sistema ampliado de números se denomina sistemade los números "reales", aquellos
números familiares que pueden representarse como expansiones decimales infinitas, tales como:
-583.70264439121009538...
En términos de una representación semejante tenemos la bien conocida expresión para n:
π = 3.14159265358979323846...
Entre los tipos de números que también pueden representarse de este modo están las raíces
cuadradas (o las raíces cúbicaso las raíces cuartas. etc.) de números racionales positivos, tales
como:
2 =1.414221356237309504...
o, de hecho, la raíz cuadrada (o raíz cúbica, etc.) de cualquier número real positivo, como sucede
con la expresión para π encontrada por el gran matemático suizo Leonhard Euler:

π =
[6 (1+ 1/4 + 1/9 + 1/25 +1/36 + ...)]

Los números reales son, en efecto, el tipo familiar de númeroscon los que tenemos que trabajar
en la vida de cada día, aunque normalmente estamos interesados sólo en aproximaciones a tales
números y preferimos trabajar con expansiones que incluyen sólo algunas cifras decimales. Sin
embargo, en las proposiciones matemáticas los números reales tienen que ser especificados
exactamente, y necesitamos algún tipo de descripción infinita como pueda ser una...