numeros reales

Los Números Reales
Introduccion
Axiomas de Cuerpo
Axiomas de Orden
Axioma del Supremo
Ejercicios Propuestos
Introduccion
El conjunto de los Números Reales, , puede ser caracterizado de varias formas. Aquí daremos la caracterización axiomática, a diferencia de las versiones constructivas tales como la que usa Cortaduras de Dedekind o la construcción mediante Sucesiones de Cauchy.
Laobtenci\on de en forma constructiva es bastante m\as complicada que la que daremos a continuaci\on. La \unica diferencia consiste en que son necesarios otros axiomas para construir conjuntos de n\umeros con los cuales se construir\an a su vez los n\umeros reales.
El conjunto de los n\umeros reales, es un conjunto en el que se cumplen los siguientes axiomas:
1. Axiomas de Cuerpo.
2. Axiomas deOrden.
3. Axioma del Supremo o de Completitud.
Lo anterior se resume diciendo que es un Cuerpo Ordenado Completo.
Axiomas de Cuerpo
Primero estudiaremos los axiomas de cuerpo, que se refieren a las propiedades algebraicas (de ``operatoria'') de los n\umeros reales.
Comencemos recordando algunas propiedades que satisfacen algunos con-jun-tos ba-jo ``ope-ra-ciones'': clau-su-ra,asociatividad, existencia de elemento neutro, existencia de elemento inverso y conmutatividad.
Consideremos el conjunto

llamado el conjunto de los N\umeros Naturales.
Observemos que

En general se tiene que si la suma tambi\en pertenece a . En otras palabras en provisto de la suma (+) se cumple la propiedad de clausura o cerradura.
En cambio si consideramos el subconjunto de ;

vemos que no secumple la clausura bajo la suma.
En efecto y pero . Es decir, al sumar dos elementos del conjunto no siempre se obtiene como resultado un elemento del conjunto .
Es claro que tambi\en verifica las propiedades asociativa y conmutativa, es decir, para todo ;

Sin embargo, no existe un elemento en que sea neutro para esta operaci\on. Dicho en forma m\as precisa, no existe un elemento tal queal sumarlo con cualquier elemento se obtenga el mismo n\umero en .
Por otra parte, si consideramos bajo la operaci\on producto (o multiplicaci\on) se tiene que se cumplen las siguientes propiedades:
i)
Si , entonces
ii)
Para todo se verifica

iii)
Existe tal que para todo

iv)
Para todo

Así, en con la multiplicaci\on , se verifica las propiedades de clausura (i), asociatividad(ii), existencia de neutro (iii) y conmutatividad. Pero, dado no existe un elemento tal que al multiplicarlo con se obtenga el elemento neutro , es decir, no se verifica la propiedad de existencia de inverso.
?`Qu\e conjunto cumplir\a con todas las propiedades mencionadas?
Consideremos el conjunto de los N\umeros Enteros

donde

En con la suma (+) se verifica:
i)
Clausura:
Para todo, se tiene que
ii)
Asociatividad:
Para todo

iii)
Existencia de neutro:
Existe , tal que para todo

iv)
Existencia de inverso:
Para todo , existe tal que

v)
Conmutatividad:
Para todo

En cambio, si consideramos bajo la operaci\on producto se verifican (i), (ii), (iii) (en este caso 1 hace el papel de neutro) y (v). Sin embargo no se verifica la propiedad de inverso,(iv), puesto que: Dado no siempre existe tal que

Diremos que bajo la operaci\on de suma (+) es un grupo y anotaremos es grupo; en cambio, no es grupo.
Diremos que es una operaci\on(``binaria") en si para todo en existe un \unico en .
Nota: El hecho que está en y no en otro conjunto se acostumbra a decir que cumple la propiedad de clausura.
Estructura de Grupo
Sea un conjunto no vacío y unaoperaci\on en . Diremos que es un grupo bajo la operaci\on si las siguientes tres afirmaciones son ciertas
i)
Asociatividad:
Para todo en , se cumple

En símbolos

ii)
Existencia de elemento neutro:
Existe , elemento neutro en , tal que para todo en , se tiene

En símbolos

iii)
Existencia de elementos inversos:
Para todo en , existe en tal que

En símbolos Note_1...