NUMEROS REALES

NÚMEROS
NÚMEROS REALES
A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los
denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números.
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }
Si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y

a.b∈N .

No es cierto en general que si a , b ∈ N entonces

a - b ∈ N . Esto ocurre si y sólo si b < a .

1-1=0 ∉N
1 - 2 =-1 ∉ N
3-1= 2 ∈ N

Ejemplo:

Indicamos con

-

N = {- a / a ∈ N }

-

o sea

N = {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...}

N0 = N ∪ {0}
Observamos que:
a ∈ N si y sólo si - a ∈ N

-

-

N∩N = ∅
Definimos al conjunto de los números enteros como
-

Z = N ∪ {0} ∪ N
Los naturales se identifican con los enteros positivos, es decir N ⊂ Z

Ejercicio 1 : ¿Existe un número entero quesea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o
igual que todos los demás?.
Ejercicio 2 : ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 2 y 3?; ¿y entre 5 y 6?; ¿y
entre n y n + 1 ?.
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Curso de Apoyo en Matemática
Ejercicio 3 : ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10?; ¿y entre -3 y 7?.
Ejercicio 4 : ¿Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen entredos enteros
dados?. ¿Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?.
Observemos que:
b∈Z

implica

-b∈Z

a ,b∈Z

implica

a+b∈Z

a ,b∈Z

implica

a-b∈Z

a ,b∈Z

implica

a.b∈Z

pues: a - b = a + (- b) ; como - b ∈ Z ; por lo
anterior resulta a + (- b) ∈ Z .

Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0 . Existen enteros únicos q , r tales que b = a . q + r con 0 ≤ r < aEjemplo:
a)
b)
c)
d)

Para
Para
Para
Para

b = 84
b = 84
b = - 84
b = - 84

,
,
,
,

a = 45
a = - 45
a = 45
a = - 45

resulta
resulta
resulta
resulta

q = 1 , r = 39
q = - 1 , r = 39
q=-2 , r=6
q=2 , r=6

pues
pues
pues
pues

84 = 45 . 1 + 39
84 = (- 45) . (- 1) + 39
- 84 = 45 . (- 2) + 6
- 84 = (- 45) . 2 + 6

Si r = 0 , resulta b = a . q y se diceque a divide a b (o que b es múltiplo de a , o que b
es divisible por a , o que a es divisor de b ).
Ejemplo:

2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3
5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que multiplicado por 5 dé 12.

Si se descomponen dos enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo común divisor
entre a y b, es el producto de los factores comunes, con el menor exponente. Sedenota mcd (a , b).
Recordemos que un número entero positivo a es primo si tiene exactamente cuatro divisores: 1,
-1, a y -a.
Ejemplo: Algunos números primos son 2 , 11 , 463

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Números

Ejemplo: Si a = 72 y b = 84 resulta
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
72 = 23 . 32

84
42
21
7
1

2
2
3
7

84 = 22 . 3 . 7

mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12
o sea 12 es el mayor de losdivisores comunes entre 72 y 84.
Si se descomponen dos enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo común múltiplo
entre a y b es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
Se denota mcm (a , b)
Ejemplo: Tomando los números del ejemplo anterior resulta
mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504
o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.

Noes cierto en general que si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z . Por ejemplo 1 : 2 =

1
∉Z.
2

Llamamos número racional a todo número que se puede expresar como fracción

n
donde n y
m

m son enteros y m ≠ 0.
Con Q denotamos la totalidad de los números racionales.
Observemos que:
Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z escribimos m =

La recíproca es falsa, por ejemplo,

m
∈ Q. Es decir Z ⊂ Q
1

1
1
∈ Q pero
∉Z
2
2
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Curso de Apoyo en Matemática

Si u , v ∈ Q entonces:
u+v∈Q
u-v∈Q
u.v∈Q

Si u ≠ 0 entonces

1
∈Q
u

Ejercicio 5 : ¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?; y ¿mayor o
igual que todos los demás?.

2
3
7
8
y
. Hallar un número racional entre
y
.
3
7
3
3
¿Puede hallarse más de un...