Numeros Reales

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Números reales y complejos
Este capítulo está dedicado a introducir axiomáticamente el conjunto R de los números reales y a obtener propiedades de R relevantes para el curso, utilizando el método deductivo de las matemáticas. Los números reales constituyen la columna que sirve de sostén al resto de la construcciones que se realizarán en el curso. Más aún, están en la base de todo el AnálisisMatemático, lo cual da idea de la importancia que este capítulo tiene. Aunque haya cuestiones que sean desconocidas para los estudiantes, buena parte de las propiedades de R que se estudian les resultarán familiares. No en vano las han usado y manipulado en la enseñanza secundaria, quizá con un nivel de conciencia no homogéneo. La diferencia significativa está en la metodología y el rigorempleados. El indudable beneficio que para el aprendizaje puede tener el que se incida sobre cosas «ya conocidas» puede comportar también el riesgo para los estudiantes de pasar deprisa, quedándose en la periferia, sin entrar en el núcleo. Y los números reales no son un objeto matemático sencillo. Baste decir que la representación decimal que usamos comúnmente sólo tiene trescientos años aproximadamente yque la formulación rigurosa de los reales, que aquí presentamos, es de finales del diecinueve. Y ello a pesar de que se tiene constancia de que los números naturales eran ya utilizados (de alguna manera) en el paleolítico, hace 12.000 años. En asignaturas de Álgebra es usual el estudio de los números comenzando por los naturales (con frecuencia en el marco de la teoría de conjuntos) que admiten unaaxiomática simple. A partir de ellos, y en relación con la solución de ecuaciones, se van construyendo sucesivamente los enteros y los racionales y se estudian sus propiedades. Apoyándose en los racionales es posible construir los reales y analizar sus propiedades. Por razones de economía de esfuerzo, y para dar cabida en el curso a otros contenidos, hemos optado por fijar el nivel de la axiomáticade partida en una etapa avanzada en lugar de utilizar otra más básica. Desde un punto de vista 33

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Números reales y complejos

pragmático, lo importante son las propiedades de R —que formulamos de forma precisa— y si retrocediéramos en la cadena deductiva tratando de buscar el primer eslabón acabaríamos en los Fundamentos de la Matemática, cuestión que excede sobremanera los objetivosy las posibilidades del curso. Aunque la complejidad de los números reales no es comparable con la de los naturales, la modelización de R a través de la recta numérica contribuye grandemente a su asimilación. El cuerpo de los números reales resulta suficiente para gran parte de las cuestiones que se presentan tanto en Matemáticas como en las ciencias, pero para otras, resulta conveniente, cuando nonecesario, considerar un conjunto más grande de números, denotado con C, llamados números complejos, que tiene todas las propiedades de R, salvo las relativas al orden, porque no existe la posibilidad de ordenar C. Si R sirve para modelizar matemáticamente la recta, C hace lo mismo con el plano.

2.1.

Definición axiomática de R

Definición 2.1.1 (Axioma) Existe un cuerpo totalmente ordenadoy completo que recibe el nombre de cuerpo de los números reales y se denota por R. Detallamos a continuación el significado de cada uno de los términos que aparecen en el axioma. Cuerpo. Significa que hay dos operaciones internas en R R × R −→ R (x, y) → x + y R × R −→ R (x, y) → x · y

llamadas suma y producto que cumplen las siguientes propiedades: (2) x + y = y + x para todo x, y ∈ R(conmutativa), (1) x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z ∈ R (asociativa),

(3) existe un elemento en R denotado con 0 que cumple x + 0 = x para todo x ∈ R (elemento neutro de la suma), (4) para cada x ∈ R existe x′ ∈ R con la propiedad de que x + x′ = 0, dicho x′ se denota con −x (elemento opuesto), (5) x · (y · z) = (x · y) · z para todo x, y, z ∈ R (asociativa), (6) x · y = y · x para todo x, y...