numeros reales

NUMEROS REALES

DEFINICIONES:
NUMERACION: parte de la aritmética que estudia la formación, representación y conteo de los números.
NUMERO: Ente matemático que permite cuantificar los objetos de la naturaleza.
NUMERAL: Representación escrita de un número mediante el uso de símbolos.
AXIOMA: enunciado formal.
NUMEROS REALES: Es el conjunto de números conformaos por la unión de losnúmeros racionales y los números irracionales.
ie: R1 = Q U Q*
Representación: R1 = { ….. -3, -2, -1, -1/2, 0, 1, 3/2, 2, …….}
Es decir esta: Conformado por los sub conjuntos de los números:
Naturales: “N” ; Enteros: “Z” ; racionales; e irracionales.
R1 = {N; Z; Q; Q*}
Por tanto:
Conjunto de elementos definidos como números reales que operan con las operaciones de la adición “+ “ y lamultiplicación “ * ”
Símbolo: R1
ie: Sea a, b ∈ R1 ; a + b ; a.b
La sustracción se define por la ecuación:
a - b = a + (-b)
-b : negativo de b / b + (-b) = 0
La división se define por la ecuación:
a/b = a.b-1
donde b-1 es el reciproco de b / b.b-1 = 0
El sistema de los números reales se describe por el conjunto de axiomas; con los cuales se deduce las propiedadesen lso reales y con ellas las operaciones algebraicas de la “+” ; “ – “ ; “ * “ y la “ / “; así mismo los conceptos algebraicos de soluciones de ecuaciones, factorización, etc.
Las propiedades son consecuencias de los axiomas definidos como teoremas.
En los teoremas existen dos partes:
1. Si : Hipótesis
2. Entonces : Conclusión.
El razonamiento o argumento que se emplea paracomprobar el teorema se le denomina: “demostración”
Para todo “a” ∈ R1 y R1 = {Q ; Q*}
Números Racionales:
Q = { p/q / p, q ∈ Z }
Números Enteros:
Z = { Z- ; Zº ;Z+}
± p/q : fracción
Números Naturales: N C Z+
Fracción ∼ decimal: p/q Ejm: 6/5 ; -8/5 : 0.5=1/2
Decimales Conmensurables:
Ejm: 2.36 = 236/100; - 3251/10000 =-0,3251
Decimales Inconmensurables Periódicos:
Ejm: 0,33333…= 1/3 ; -0.549549 = -61/111
Se emplea los siguientes símbolos:
1) Pertenencia: “∈” NO PERTENCIA: “∉”
Ejm: a ∈ R
2) Llaves: { }
Ejm: A= {x/ x∈ N}
3) Variable: “x”
Ejm: Sea x tal que x ∈ Z
4) Tal que: “/”
Ejm: Sea A = {x/ x∈ R }
5) Para todo: “∀”
Ejm: ∀ Sx ↦Px
6) Existe: “∃”
Ejm: ∃ x
7) Elementoúnico: “!”
Ejm: ∃! x
8) Es decir: “ ie”
AXIOMAS DE CUERPO: Sean a, b, c, d elementos que pertenecen a R1 y sea los operadores de la adición y la multiplicación:
ie: ; a +b ; a.b

Nº
AXIOMA
Sea a,b,c,d ∈ R1
FORMULA


ADICION
MULTIPLICACION
1.
Clausura o Uniforme
a+b ∈ R1
a.b∈ R1
2.
Conmutativa
a+b = b+c
a.b=b.a
3.
Asociativa
a+(b+c)=(a+b)+c
(a.b)c=a(b.c)
4.
E.Neutro o Modulativo
∃!0∈ R1/a+0=0+a=a
∃!1∈ R1/a.1=1.a=a
5.
E. Inverso o Invertiva Para c/nº ∈ R1,
∃! nº reciproco de “a” Inverso aditivo “-a” / a+(-a)=-a+a=0
∃! nº reciproco de “a” inverso multiplicativo
a-1=1/a / a. a-1= a-1.a=1
6.
Distributivo
∀ a,b,c, ∈ R1 a.(b+c) = (a.b) + (a.c)

CONSECUENCIA IMPORTANTE DE LOS AXIOMAS DE CUERPO:


TEOREMAS
ADICION
MULTIPLICACION
T1
LeyCancelativa
x+y =x+z ↦ y=z
x.y=x.z↦ y=z
T2
Solución Única
∀ a,b∈ R1 la ecuación x+a=b tiene una y solo una solución
T3
De multiplicación con elemento neutro 1

∀ x∈ R1 x.0=0
T4
De multiplicación con elemento neutro 2

∀x,y∈ R1 ; Si x.y=0 ↦
x=0 o y=0
T5
Del Inverso

∀ x∈ R1 Si x≠0 ↦ x-1=1/x≠0
T6
El numerador es nulo

∀x,y∈ R1 Si y≠0 ↦x/y=0↦x=0
T7
Multiplicación de negativos

∀ x∈ R1 -(-x)=x
T8
Potenciación de negativos

Si x≠0 ↦ (x-1) -1=x
T9
Suma de negativos
∀x,y∈ R1 ↦
-(x+y) =(-x)+(-y)

T10
Multiplicación de Potencias negativas

Si x≠0 , y≠0 ↦ (xy) -1= x-1y-1 =1/xy=(1/x)(1/y)
T11
Suma de producto de proporciones inversas

∀a,b,c,d∈ R1 ; Si b≠0; d≠0 ↦...