numeros reales

El sistema de los
números reales

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de
Ingeniería y Negocios
II

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1. El sistema de números reales
1.1. Los números reales
En aplicaciones de conceptos algebraicos, usaremos los números reales para
representar cantidades tales como distancia, tiempo, velocidad, área, ingreso y
temperatura.
Algunos conjuntos usualmente usados son
N = {1,2, 3, . . .}

Conjunto de números naturales

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Conjunto de números enteros

p
, donde p y q son enteros y q = 0,
q
son números racionales y el conjunto de números racionales se denota por Q.
La notación decimal para números racionales o termina o se repite
Números que se expresan en la forma

Ejemplo 1.1. Algunos números racionales son
(i)0
(ii) −7
1
= 0.25
4
5
= −0.45
(iv) −
11

(iii)

0
para cualquier entero no nulo a.
a
−7
7
o
.
−7 =
1
−1
0=

decimal que termina.
decimal que se repite.

Existen números cuya expresión decimal no termina o no se repite
Ejemplo 1.2. Algunos de estos números son
(i) π = 3.1415926535 . . .
de dígitos.
√
(ii) 2 = 1.414213562

La parte decimal no tiene repeticiones enbloques
No hay repeticiones en bloques de dígitos.

2

Los números cuya parte decimal no termina o no tiene repetición en bloques,
son llamados números irracionales y este conjunto se denota por I. Los números racionales junto con los números irracionales constituyen los números reales.
Más preciso R = Q ∪ I

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Cada punto de la recta representa un número real ycada número real es representado por un punto de la recta.
-3
5

- 2.9
-5

-4

-3

-2

-1

3
0

1

2

p
3

14
7
4

5

El orden de los números reales se determina a partir de la recta numérica. Si
un número a está a la izquierda de un número b, entonces a es menor que b
( a < b). Similarmente, a es mayor que b ( a > b) si a está a la derecha de b
en la recta numérica.3
Ejemplo 1.3. De la figura de arriba vemos que −2.9 < − , pues, −2.9 está a la
5
√
√
17
3
17
izquierda de − . También
está a la derecha de 3.
> 3 ya que
2
5
4
4

La expresión a ≤ b se lee “a es menor que o igual a b” y se cumple cuando
a < b o cuando a = b.
El símbolo ∈ se usa para indicar que un miembro o elemento pertenece a un
√
17
∈ Q pero 2 ∈ Q.
conjunto. Por ejemplo,4
Cuando todos los elementos de un conjunto están en el segundo conjunto, decimos que el primer conjunto es un subconjunto del segundo. Usamos el símbolo
A ⊆ B para denotar que A es subconjunto de B. Por ejemplo, Q ⊆ R, es decir,
Q es un subconjunto de R.

1.2.

Intervalos

Los subconjuntos de números reales pueden expresarse usando intervalos.
Por ejemplo, para números reales a y b talque a < b, el intervalo abierto
( a, b) es el conjunto de números reales mayores que a y menores que b pero
que no toma a ni b.
( a, b) = { x ∈ R : a < x < b}
((

((

-2

1

Los puntos a y b son llamados extremos del intervalo. Los paréntesis significan que los extremos no se incluyen en el intervalo.

2

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Algunos intervalos se extienden sin límite en ambasdirecciones. Por ejemplo,
el intervalo [ a, +∞) comienza en a y se extiende a la derecha sin límite. Es decir,

[ a, +∞) = { x ∈ R : x ≥ a}

[

a

8

[a , + (

TIPOS , NOTACIÓN Y GRÁFICAS

NOTACIÓN
CONJUNTISTA

( a , b(

{ x R : a < x < b{

[a , b]

{ x R : a < x < b{

Semi-abierto

Abierto

Semi-abierto

(a , + )

{ x R : x < a{

[a , + )

{ x R : x < a{b)

{ x R : x < b{

8

Abierto

{ x R : a < x < b{

( a , b[

8

Semi-abierto

{ x R : a < x < b{

[a , b)

)-

)-

,

8

Semi-abierto

,

8

Cerrado

b]

{ x R : x < b{

3

(

a

[

a

[

a

(

a

(

a

[

a

(

( a , b(

b

[ a , b[

b

[a , b)

b

(a , b]

b

]
)
]

(a , + )

8

Abierto

GRÁFICA

[a...