numeros reales

NÚMEROS

REALES

Introducción

C

ontar es establecer una relación uno a uno entre dos conjuntos; el conjunto
cuya cantidad de elementos se indaga, y el conjunto de símbolos conocidos
como números. Los números naturales nacieron debido a la necesidad de contar
de nuestros ancestros. En esta unidad se estudiarán algunas propiedades de los
números naturales.
También estudiaremos unmétodo muy útil para demostrar verdades
matemáticas, conocido como inducción matemática, que nos ayudará a establecer
algunas relaciones que existen entre los números.
Terminando de estudiar los números naturales estudiaremos el conjunto
de los números enteros. Estos números incorporan los números negativos al conjunto
de los números naturales. Se estudiarán sus propiedades así como su orden y surepresentación en la recta numérica.
Continuando con el estudio de las propiedades de los números enteros,
lo primero que notamos es la existencia de números pares, es decir, existen
números que son exactamente divisibles entre 2; también hay números que
son exactamente divisibles entre 3, etc. Esta clasificación de los números nos
habla de una noción que se encuentra en la base del estudiode los números: la
divisibilidad. En forma general, ésta se refiere a aquellos casos en que un entero
“cabe” un número exacto de veces en otro.
En esta unidad revisaremos también el estudio de la división para definir
un nuevo conjunto de números llamados racionales, Q; estudiaremos sus
operaciones y sus propiedades.
Por último, estudiaremos el último conjunto de números: los irracionales.Después, con la ayuda de todos los conjuntos de números conocidos, podremos
definir un conjunto de números con el nombre de reales.

2.1. Concepto de número natural
Los números que nos sirven para contar los elementos de un conjunto
son los números naturales y se designan por N ={0,1,2,3,4,...}.

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ÁLGEBRA

SUPERIOR

Consideraremos en este texto al cero como el primer númeronatural,
siendo importante resaltar que muchos autores no lo consideran así.
¿Existirá el último número natural?
Los números naturales se encuentran ordenados de manera “natural” y
gráficamente se representan en la recta numérica, cuyo origen es el cero y se
extiende hacia el 1, luego el 2, luego el 3, etcétera.
Nótese que los números naturales aunque tienen primer elemento no
tienen último.Existen dos operaciones básicas que pueden realizarse con los números
naturales: la suma y el producto.
Estas operaciones cumplen con las propiedades que enlistaremos a
continuación:
Propiedades de la suma y el producto de números naturales
1. Cerradura de la suma.
Cuando se suman dos números naturales, a y b, se obtiene otro
número natural, c

a+b=c
2. Conmutatividad de la suma.
Paratodo a y b en N,

a+b=b+a
3. Asociatividad en la suma.
Para todo a, b y c en N,

(a+b)+c=a+(b+c)
4. Elemento neutro aditivo.
El elemento neutro para la adición es el cero. Para todo a en N,

a+0=a

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NÚMEROS

REALES

5. Cerradura de la multiplicación.
Cuando se multiplican dos números naturales, a y b, se obtiene otro
número natural c:
ab=c
6. Conmutatividad de lamultiplicación.
Para todo a y b en N,
ab=ba
7. Asociatividad en la multiplicación.
Para todo a, b y c en N
(ab)c=a(bc)
8. Elemento neutro multiplicativo.
El elemento neutro para la multiplicación es el 1. Para todo a en N,
a1=a
9. Distributividad.
La multiplicación es distributiva respecto a la suma. Para todo a,b y
c en N se tiene que
a(b+c)=ab+ac
Más adelante estudiaremos otros tipos denúmeros y descubriremos que
cada uno tiene sus propiedades características que los diferencian de los demás.

2.1.1. Definición de números primos
Dentro de los números naturales existen algunos que sólo pueden ser
divididos entre ellos mismos y la unidad. A estos se les conoce con el nombre de
números primos.
Un número natural p es llamado primo cuando tiene como únicos
divisores a 1 y a p....