Numeros reales

SEMANA 1

TEMA 1.1 : INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS REALES
OBJETIVOS:
* Familiarizarse con los conjuntos, la clasificación de los números reales y la recta real.
* Nombrar, ilustrar y relacionar las propiedades de los números reales en términos de sus operaciones.

Número
Es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numerus y hacereferencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos como por ejemplo los naturales, enteros, racionales, irracionales, reales.
Los números son entes abstractos desarrollados por el hombre como modelo que permite contar y medir.
Clasificación:
Números Naturales Representación: N
El conjunto de los números naturales contiene clasessimbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos.
El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4...} y se representan en una semirecta.
En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el conjunto, sedenota por N* = {0, 1, 2, 3, 4 ...} (llamados también enteros no negativos)
Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que, menor que).

Números enterosRepresentación: Z
Surge de la resta de números y de la necesidad de expresar cantidades negativas; como por ejemplo temperatura bajo cero (puede ser -4°C).
De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; esdecir: N Z.
Representación gráfica del conjunto Z.

LOS NÚMEROS RACIONALES Representación: Q
El concepto de fracción surge intuitivamente cuando se pretende dividir una unidad en partes del mismo tamaño (por ejemplo, un pastel). Cada uno de los elementos individuales obtenidos es una parte fraccionaria de la unidad. Conceptualmente, el conjunto de los números enteros y los fraccionarios asíobtenidos conforma un conjunto más general, llamado de los números racionales.

Números fraccionarios
Un número fraccionario puede verse como un par ordenado de números enteros (a, b), siendo a, b Z, que se expresa también como , tal que a recibe el nombre de numerador y b denominador, que ha de ser distinto de cero. Los números fraccionarios pueden ser:
* Fracciones propias, cuando elnumerador es menor que el denominador. Por ejemplo: etcétera.
* Fracciones impropias, en caso contrario. Por ejemplo, etcétera.
Las fracciones impropias se expresan también como números mixtos, constituidos por la suma de un entero y una fracción propia. Por ejemplo, puede escribirse también como la suma de 1 y, que corresponde al número mixto .
Si se considera a la fracción impropiacomo una división, el numerador es el dividendo (D) y el denominador el divisor (d). Entonces, el número mixto que la representa tendrá la forma genérica: , siendo c el cociente y r el resto de la división.
Representación gráfica del conjunto Q

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.
La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de suexpresión fraccionaria. y los números que se obtienen son:
* Enteros:
* Decimal exacto:
* Decimal infinito periódico.
* Periódico puro:
* Periódico mixto: = 2,96666666·······

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL
* Entero:
* Decimal exacto: luego se ha de simplificar.
* Decimal infinito periódico:
* Periódico puro: x =
100 x =...