Numeros Reales

CONJUNTOS NUMÉRICOS

LOS NÚMEROS NATURALES
Los números surgen en la historia del hombre, debido a su necesidad de contar objetos, animales, etc. Se puede deducir de ello, que los primeros números que el hombre utilizó fueron el 1,2,3,…cuya notación o simbología se conoce como numerales hindú-arábicos, ya que fue inventada por los Indios e introducida en Europa y Occidente por los árabes.
Elconjunto de los números naturales se denota por N y corresponde a:

Algunas características de N
1. N es un conjunto infinito. Tiene como primer elemento el 1, pero no tiene un último elemento.
2. Todo número natural tiene un sucesor. Simbólicamente se escribe:
. El sucesor de
3. Todo número natural distinto de 1, tiene antecesor. El antecesor de
4. Lascaracterísticas anteriores permiten hablar de consecutividad en N, esto es tiene sentido pensar en naturales consecutivos. Esto hace que N sea un conjunto discreto.
5. En N encontramos los números pares: y los números impares:.
6. Un número par se anota , un número impar se anota:

Propiedades de las operaciones de adición y multiplicación en N
1. Clausura o Cierre. N es cerrado para lasuma y para la multiplicación, esto es:


2. Asociatividad. Tanto la adición como la multiplicación son asociativas, es decir:


3. Conmutatividad. Tanto la adición como la multiplicación son conmutativas, se tiene:

4. Elemento neutro para la multiplicación. El 1 es elemento neutro para la multiplicación. Es decir:

5. Distributividad. La multiplicación es distributiva respecto de laadición. Se tiene:

6. La resta en N, no siempre funciona, se tiene N no es cerrado para la resta.

7. La división no siempre se puede realizar en N, sólo es posible cuando el numerador es múltiplo del denominador. N no es cerrado para la división.

Nota: Cuando no se produce ambigüedad, en la multiplicación no se anota el punto, es decir:

Nota: Recordemos que en N se encuentran losnúmeros primos, que son aquellos números naturales que son divisibles (división exacta) por 1 y por si mismos. Por convenio el 1 no es primo. Algunos números primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,…
Un número que no es primo se llama número compuesto.
Factorización prima. Se sabe que todo número natural distinto de 1, es un número primo o un producto de números primos. Escribir un númeronatural como producto de números primos es lo que llamamos factorización prima. Por ejemplo, la factorización prima de 30 es 2·3·5
Otro ejemplo es que el número 36 tiene factorización prima igual a: 2·2·3·3 o bien
Nota. Para hallar esta factorización, dividimos el número por números primos comenzando por el menor primo que sea divisor del número, el resultado de esta división se vuelve a dividir,considerando el procedimiento anterior, hasta que el único divisor sea el 1. El producto de los números primos que se fueron considerando como divisores es la factorización prima.
Ejemplo. Hallar la factorización prima de 36.

Ejercicios. Hallar la factorización prima de:
900 840 105.840 3003 90 6300 735 138.300 12.155 3895
Respuestas.

Múltiplos de un número. Cuandohablamos de los múltiplos de un número x, nos referimos al conjunto de números que se genera por la multiplicación del número x por n, donde es Se simboliza y se tiene que . Por ejemplo los múltiplos de 5 son:
Divisores de un número. Los divisores de un número x, son aquellos números que lo dividen exactamente. Se denota . Por ejemplo los divisores del 12 son
Nota: Múltiplos y divisores serelacionan estrechamente, ya que si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Por ejemplo 20 es múltiplo de 4 y 4 es divisor de 20.
Mínimo común múltiplo(m.c.m) de un conjunto de números. Es el menor de los múltiplos comunes a cada número.
Por ejemplo, hallar el m.c.m(2,3,5).



Luego
Nota: ¿Conoce alguna forma más reducida para calcular el mcm? Aplíquela
Máximo Común Divisor (MCD) de...