numeros reales

Números reales
Luis Ángel Zaldívar Cruz
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Tecnológico de Tehuacán

2 de abril de 2014

1.

Introducción

Desde la antiguedad las nociones intuitivas de cambio continuo, crecimiento
y movimiento han desafiado las mentes científicas. Sin embargo, el camino para
la comprensión del cambio continuo fue abierto solo hasta mediados del siglo
XVIIcuando inició la ciencia moderna y con ella, también el cálculo integral y
diferencial, brevemente llamado Cálculo o Análisis Matemático.
Las nociones fundamentales del Cálculo son la derivada y la integral; la derivada es una medida de la tasa de cambio, la integral es una medida para el efecto
total de un proceso de cambio continuo. La comprensión de estos conceptos y
de sus aplicaciones,descansa en los conceptos de límite y de función que a su
vez dependen del entendimiento del continuo de los números. Sólo sumergiéndose gradualmente, cada vez un poco más en la sustancia del Cálculo, se podrá
apreciar su potencia y belleza.
En este tema introductorio explicaremos los conceptos básicos de los números.

2.

El continuo de los números

Los enteros positivos o números naturales 11, 2, 3, . . . son símbolos abstractos
para indicar “cuántos” objetos están en una colección o conjunto discreto de
elementos.
Estos símbolos son despojados de toda referencia a cualidades concretas de
los objetos contados, por lo que no importa si lo que se cuenta son personas,
átomos, casas, chivos o cualquier otro objeto.
Los números naturales son el instrumento adecuado para contarelementos
de una colección o conjunto. Sin embargo, no son apropiados para otro objetivo
igualmente importante: medir cantidades tales como la longitud de una curva y
el volumen o peso de un cuerpo. La pregunta ¿cuánto? no puede ser contestada
inmediatamente en términos de los números naturales. La imperiosa necesidad
1 Al

conjunto de los números naturales se le designa con el símbolo N.

1para expresar medidas de cantidades en términos de lo que nos gustaría llamar números, nos obliga a extender el concepto de número para que podamos
describir una gradación continua de medidas. Esta extensión se denomina el
continuo numérico o el sistema de números reales (un nombre no descriptivo
pero generalmente aceptado).
La extensión del concepto de número al del continuo es tanconvincentemente
natural que fue utilizado por todos los grandes matemáticos y científicos de
épocas remotas sin formalización alguna. Fue hasta el siglo diecinueve cuando
los matemáticos se sintieron obligados a buscar una fundamentación lógica firme
para el sistema de los números reales. La resultante formulación precisa de los
conceptos, a su vez, condujo a progresos adicionales en matemáticas.3.

El sistema de los números reales

Una exposición adecuada del Cálculo Diferencial e Integral como matemática
de la ingeniería depende esencialmente de un estudio cuidadoso del sistema de
los números reales.
Hay muchos métodos para introducir el sistema de los números reales. Un
método usual es el de empezar con los enteros positivos 1, 2, 3, . . . y utilizarlos
como base paraconstruir un sistema más amplio que tenga las propiedades
deseadas. Brevemente, la idea de este método es tomar los enteros positivos como
base para formar un sistema más amplio, que es el de los números racionales
positivos (cocientes de enteros positivos). Los números racionales positivos se
utilizan a su√ como base para construir los irracionales positivos (números
vez
reales como 2 y π que noson racionales). El paso final es la introducción de
los números reales negativos y el cero. La parte más difícil del proceso total es
el paso de los números racionales a los números irracionales.
Aunque la necesidad del número irracional se había presentado ya a los
matemáticos de la antigua Grecia en sus estudios geométricos, no se introdujeron
métodos satisfactorios de construcción de los...