numeros reales

Ingreso Facultad de Ciencias Exactas

Números Reales (Parte I)

MÓDULO III
NÚMEROS REALES (Parte I)
Autores: Lic. Graciela LLinás - Lic. Silvia Marzoratti

Problema de las tres personas que entran en un bar y tienen
que pagar con 30 pesos una cuenta de 251
Tres personas entran en un bar. Los tres hacen su pedido y se
disponen a comer. En el momento de pagar, el mozo trae la
cuenta quesuma exactamente 25 pesos. Los tres amigos deciden compartir lo
consumido y dividir el total. Para ello, cada uno mete la mano en su bolsillo y saca un
billete de 10 pesos. Uno de ellos, junta el dinero y le entrega al mozo los 30 pesos.
El mozo vuelve al rato con el vuelto: cinco billetes de un peso. Deciden dejarle al mozo
dos pesos de propina y se reparten los tres pesos restantes: unopara cada uno.
La pregunta es: si cada uno de ellos pagó 9 pesos (el billete de 10 que había puesto
menos el peso de vuelto que se llevó cuando volvió el mozo) como son tres, a 9 pesos
cada uno, pagaron 27 pesos. Si a ello le sumamos los dos pesos de propina que se llevó
el mozo, los 27 más los dos pesos, suman ¡29 pesos!
¿Dónde está el peso que falta?

NÚMEROS
La noción de número es tanantigua como el hombre mismo. El hombre debió
recorrer diverso caminos mentales hasta llegar a algún sistema de numeración
manejable y eficiente.
Por ejemplo, históricamente el número natural es el primero en aparecer, debido a
la necesidad primaria de contar objetos. Los restantes conjuntos numéricos surgieron
para dar respuesta a nuevas necesidades como es el caso de medir longitudes,superficies, pesos etc. o introducir operaciones.



A. Paenza, Matemática…¿Estás ahí?,Bs. As. Siglo XXI Editores Argentina (2006) ,p 157

3. I. 1

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Números Reales (Parte I)

Números naturales
El conjunto de los números naturales, también llamado de los enteros positivos,
que se simboliza con  . Este conjunto se describe con las siguientes propiedades(Axiomas de Peano):
1. El número 1 es el primer elemento del conjunto 
2. Todo elemento n perteneciente a  tiene un sucesor llamado el siguiente igual
a n+1
Es decir, el primer elemento de  es 1, el siguiente de 1 es 1+1=2, el siguiente de 2 es
2+1=3, y así sucesivamente.
Números enteros
Si al conjunto  se le agrega:
1. El número cero, denotado por el símbolo 0, que tiene la propiedadde que
cualquier número a sumado con 0 vuelve a dar a. Ejemplo: 25 + 0 = 25
2. Para cada número natural n el número negativo – n (se lee: “menos ene”) tal que
si se suma a n da como resultado cero.
tenemos el conjunto de los números naturales, el cero y los naturales negativos que se
llama conjunto de números enteros y se simboliza con  .
    0   n : n   
El cero es un númeroentero, pero no es positivo ni negativo.

Números racionales
El conjunto cuyos elementos son los cocientes de dos enteros p y q, con q  0
(distinto de cero) se denominan números racionales y se los simboliza con la letra 

 p

  
/ p , q   , q  0
 q

Son ejemplos de racionales los números:

1  3 12
;
;
2
5
7

Control 1
Repasamos la definición de númerosracionales.
Los números enteros son racionales.
¿Puedes explicar por qué?

Hasta el momento tenemos     

3. I. 2

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Números Reales (Parte I)

Tomemos el número racional 2,3581. Podemos escribirlo de la siguiente forma:
2,3581= 2+ 0.3+0.05+0.008+0.0001= 2 

3
5
8
1
 2  3 4
10 10
10 10

En general, un número racional positivo r  a0 ,a1a2 .......an , se puede escribir:
r  a0 

a1 a2
a
 2  .....  nn
10 10
10

(1)

donde a0 es un entero no negativo, y a1 , a2 , ... , an son enteros que satisfacen

0  ai  9 .
Se dice que ésta es la representación decimal finita de r, también suele decirse
expresión decimal exacta. Por ejemplo, dividiendo numerado por denominador y luego
escribiendo la fracción decimal:...