Numeros Reales

1. NUMEROS REALES
1.1 LA RECTA NUMERICA
La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

La recta numérica real o recta de coordenadas esuna representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo  para este conjunto.
Se construye como sigue: seelige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

1.2 LOS NUMEROS REALES
En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) comoa los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que losirracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud6 (repite 714285).
 es irracional y su expansión decimal es aperiódica

1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
PROPIEDAD | OPERACIÓN | EJEMPLO |
Conmutativa | SumaMultiplicación | a+b = b+aa b = b a |
Asociativas | SumaMultiplicación | (a+b) +c = a+ (b+c)(a b) c = a (b c) |
Existencia de elemento inverso | MultiplicaciónDivisión | (a)1/a = 1a/a = 1 |
Elemento neutro | Neutro | a + 0= a |
Distributiva | SumaMultiplicación | (a+b) c =ac + bc (a b) + c =(a+b) (b+c) |
Tricotomia | >, <, ≤, ≥ | a>b , a<b o a=b |
Transitive | >, <, ≤, ≥ | a>b>c entonces a>c |

1.3.1 TRICOTOMIA
Sea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.
En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par deelementos x e y, se tiene una sola de las siguientes relaciones:
* x < y
* y < x
* x = y

La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤ x (o ambos). Las relaciones de orden de los números naturales, enteros, racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo,la relación de inclusión ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro.

1.3.2TRANSITIVIDAD
Una relación binaria  sobre un conjunto  es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:

Así, puesto que:

1.3.3DENSIDAD
Quiere decir que entre 2 numeros reales cualquiera hay una infinita cantidad de...