numeros reales

Tema 1. Números Reales.
1.1 Axiomas de campo y propiedades adicionales.
1.2 Axiomas de orden y propiedades adicionales.
1.3 Cotas y axiomas de completitud.
1.4 Valor absoluto y sus propiedades.
1.5 Ecuaciones e inecuaciones con y sin valor
absoluto.
1.5.1 Polinómicas.
1.5.2 Racionales.
(Semanas 1 y 2)

Clase 1

En esta clase:

Sistemas de Números (N, Z, Q, I, R)
Importancia delos Números Reales

Los Números Naturales (¥)

• Son los números entero positivos (1,2,3,…,n,…)
• Nacen de la necesidad del ser humano de
contar los objetos de conjuntos
• La suma a+b y el producto ab de dos números
naturales, son también números naturales
(Propiedad de clausura respecto a ambas
operaciones)

Los Números Enteros(¢)

• Son los números enteros positivos y negativos yel cero (…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…)
• Permiten resolver ecuaciones como

x  b  a a, b  ¥

• Lo que conduce a la operación sustracción ó
resta, inversa de la suma ó adición:

x  a b

• Los enteros son un conjunto cerrado respecto de
la resta

¥ ¢

¤
Los Números Racionales
(
)
a

• Son números de la forma a, b  ¢ , b  0
b
• En los racionales se puede resolver ecuacionesdel tipo

bx  a, a, b  ¢ , b  0

• Lo que conduce a la operación división,
inversa de la multiplicación, que se expresa:

a
x
ó x  a b
b

•

a
¢  ¤ , ya que a  ¢ , a 
1

• Es útil asociar a los números racionales con los
puntos de la recta numérica ó coordenada
-1/2 -3/16 1/3 1/2

-3

-2

-1

0

1

5/4

2

3

4

5

• De la misma manera, todoracional puede ser
expresado en forma decimal:
17/10=1.7

9/100=0.09

1/6=0.1666… 1/7=0.142857142857142857…

• Los racionales son los números cuya expansión
decimal termina en una cuerda infinita de ceros,
ó bien, eventualmente repite un bloque de
números en forma infinita:
¾=0.75000… 23/11=2.090909… 1/3=0.33333…

Los números Irracionales

• Son números que no se pueden expresarcomo el
a
cociente de dos enteros:
para a, b  ¢ y b  0
b
• Pertenecen a los irracionales, números tales como
2,  , 3 5, e, log10 y3,un
etc.
número infinito de
ellos
• Se ha podido demostrar que entre cualquier par
de puntos sobre la recta, existe un número infinito
de números irracionales (y de racionales)
• Los números irracionales también pueden ser
representados en la rectanumérica

Clase 2

En esta clase:

• Los Números Reales
• Su fundamento axiomático
• Axiomas algebraicos, de orden y de
completitud
• Teoremas
• Los números reales ordenados

Los Números Reales (¡ )
• El conjunto de todos los números racionales e
irracionales se llama el conjunto de los
números reales
• El desarrollo formal del Cálculo se basa en los
números reales
• Muchosresultados sobre funciones, derivadas
e integrales, serían falsos si se refirieran a
funciones definidas sobre los racionales

Fundamento Axiomático
• Tres tipos de propiedades definen
formalmente a los reales: algebraicas, de
orden y de completitud
• Las algebraicas involucran a la adición, la
multiplicación, la sustracción y la división
• La estructura de los números reales se
construyealrededor de un conjunto con
operaciones de adición y multiplicación

Propiedades de la adición:
• A1. a  (b  c)  (a  b)  c  a, b, c  ¡ (Ley asociativa)
• A2. a  b  b  a a, b  ¡ (Ley Conmutativa)
• A3.  un número llamado "0"  a  0  a  a  ¡
(Ley de identidad)
• A4. a  ¡ ,  b  ¡ , único  a  b  0 (Existencia y
unicidad del Simétrico respecto de la adición)
b es elsimétrico ó el opuesto de a y se denota por

a

Propiedades de la multiplicación:
• M1. a (bc)  (ab)c  a, b, c  ¡ (Ley Asociativa)
• M2. ab  ba  a, b  ¡
(Ley Conmutativa)
• M3.  un número llamado "1"  a 1 a a ¡
(Ley de identidad)
• M4.  a  ¡ , a  0, b único  ab  1
(Existencia del simétrico ó inverso)
1
1
b es el inverso de a y se denota por a ó

a

Ley...