Numeros Reales

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LOS NÚMEROS REALES
Los números 1,2,3… son usados para contar. Normalmente se los conoce como el conjunto de
los números naturales, dicho conjunto se lo denota normalmente con la letra N, así
N = {1,2,3K}

Si se suman dos números naturales el resultado es otro natural, pero si se resta el resultado no
necesariamente es un número natural. El conjunto de los números enteros
Z = {K,−3,−2,−1,0,1,2,3K}

es cerrado bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación, esto quiere decir que si realizamos
cualquiera de estas tres operaciones entre dos números enteros el resultado es un número entero. Pero
este conjunto no es cerrado bajo la división, es decir que si dividimos dos números enteros el resultado
no necesariamente es un número entero.
El conjunto de los númerosracionales, Q, formado por todos los números que pueden ser
expresados de la forma n , donde n, m son números enteros con m distinto de cero, es cerrado bajo las
m

cuatro operaciones. Sin embargo no contempla todos los números que podemos conseguir. Por ejemplo
2 π que es el perímetro de una circunferencia de radio 1, no es un número racional.
Tampoco 2 ≈ 1.41K es un número racional, este númerorepresenta la solución de la ecuación
h 2 = 2 y es un número que está en la naturaleza pues él es la longitud de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo con los dos catetos iguales a 1. Estos números que no son racionales, pues no
n
, se llaman números irracionales. Una diferencia entre los
pueden ser expresados de la forma
m
números racionales y los irracionales está dada en surepresentación decimal. Los números racionales
pueden ser representados por decimales con una expansión finita ( 1 = 0.25 ) o por números decimales
4

)
1
1
que se repiten indefinidamente ( = 0.16 = 0.16666 K ,
= 0.09090 K = 0.090 ). En cambio los
6
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números irracionales son representados por números decimales que no terminan y que no tienen
ninguna periodicidad es decir que no tienen ningunasecuencia que se repita.

Los números reales son la unión de los números
racionales e irracionales. El número 2 es un irracional
y por tanto real. Este conjunto es denotado por la letra R.

Ejemplo 1.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales, racionales y

reales: a) -3;

b) − 4 ;
3

Solución:

c) 0.2 ;

d)

π +1; e) 101.

a) -3 es un númeroentero, también es racional pues puede ser escrito como − 3 y es real.
1

2
b) − 4 es un número racional pues puede ser escrito como − 4 . También es real
3
3
2 . También es real.
c) 0.2 es un número racional pues puede ser escrito como
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d) π +1 es irracional. Observe que como π es irracional su expansión decimal es infinita no
periódica al sumarles 1 da como resultado un número cuyaexpansión también es infinita no
periódica. Es un número real
e) 101 es natural, entero, racional y es real.
Ejercicio de desarrollo.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros, irracionales,
b) 2 + 2 ;
c) - 3 . 1
racionales y reales: a) 3π ;

Comentario: Algunos autores consideran el 0 como un número natural. Para evitar caer en polémicas
nos referiremos al conjunto{0,1,2,3K} como el conjunto de los enteros no negativos y a {1,2,3K}
como el conjunto de los enteros positivos.

Los números reales pueden ser representados en la recta real. Para ello se traza una línea recta
y se escoge arbitrariamente un punto en ella, él cual representará el número 0. Se escoge una unidad de
medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como ala derecha, los
puntos medidos representan los números enteros en el orden dado en la figura. Los puntos a la derecha
del 0 representarán los números positivos y a la izquierda están representados los números negativos.
2
La representación del número 4 + es un punto que está a dos tercios unidades a la derecha del 4. El
3
2
14
número 4 + es
. Para representar geométricamente a los...