numeros reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.
Subconjunto de los números RealesTipos de números reales [editar]
Racionales e irracionales [editar]
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuyarepresentación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
es irracional y su expansión decimal es aperiódica.
El conjunto de los númerosracionales se designa mediante.
Algebraicos y transcendentes [editar]
Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son
algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonceses raíz de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio
Un ejemplo de número trascendente es
El conjunto de los númerso algebraicos se designa mediante .
Computables e irreductibles[editar]
Un número real se dice computable si tiene una complejidad de Kolmogórov finita, es decir, sipuede escribirse un programa informático de extensión finita que genere los dígitos de dicho número. Si un número real no es computable se dice irreductible. Una definición de número irreductible es:
El conjunto de números reales computables se designa por . Obviamente los racionales y los algebraicos son números computables. De hecho se tiene la siguiente inclusión:

Además se tiene que todosestos conjuntos son numerables:

Esto implica que el conjunto de todos los números computables es un conjunto de medida nula

Caracterización axiomática[editar]
Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert. En textos actuales de cálculo y análisis matemático aparecen enunciados equivalentes al de Hilbert.[5]
Artículo principal: Axiomas de los números reales
Existen diferentes formas deconstruir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como método directo que introduce el sistema (ℝ, +,., ≤), donde los elementos de ℝ se llaman números reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ.[6] Se presenta una variante axiomática, mediante las siguientes tres propiedades:
Un conjunto es el conjunto delos números reales si satisface las siguientes tres condiciones:
1. es un campo.
2. es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:
Si entonces ;
Si y entonces .
3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.
El axioma del supremo es una variante del Principio deWeirstrass" que dice que toda sucesión de números reales acotada superiormente tiene supremo
Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que...