Numeros reales

Los números naturales
Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con la operación suma,los naturales forman un semigrupo conmutativo.
Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.
El infinito de los números naturales se denomina infinitonumerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potenciassucesivas de un número , es decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitosnumerables como se verá más adelante.
El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden yque dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien .
Todo subconjunto no vacío del conjuntode los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene .
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces .
Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que unadeterminada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:
Para es claroque la suma de los 1 primeros números naturales es .
Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también es cierta para ,

Luego la fórmula es válida para todo n natural....