Numeros reales

Introducción

Para empezar el tema de los números reales, un maestro pregunta a su grupo: ¿Qué es un número? Uno de los alumnos responde: un valor, otro dice: una cantidad y un tercero: un símbolo. Y la mayoría de ellos no sabe que responder y se cuestionan si lo que respondieron sus compañeros está bien. Hemos manejado los números reales desde los cuatro o cinco años de edad, pero; ¿qué tan afondo los conocemos?

La pregunta de qué es un número se la ha hecho la humanidad desde hace muchos siglos. ¿Qué es verdaderamente un número y quién ha dado una buena definición?

Intuitivamente, todo mundo entiende lo que es un número; sin embargo, si se quiere dar una definición formal no es una pregunta simple de contestar y la prueba es que le llevó varios siglos a la humanidad obteneruna respuesta adecuada.

Existen varias formas de abordar los números reales, la más conocida y natural es la que propuso el matemático Giuseppe Peano(1958–1932) y consiste en caracterizar los números naturales o enteros positivos N = {1,2,3,…} por medio de cinco axiomas, llamados precisamente los axiomas de Peano y construyendo los demás: enteros negativos, fracciones eirracionales a partir de ellos.

|Matemático |Tema |
|Peano |Axiomas |
|Kronecker |Naturales |
|Zermelo |Conjuntos |
|Cauchy |Sucesiones |

Una vez que se han caracterizado los números naturales no es muy difícil construir los enterosnegativos y los racionales. Sin embargo para los números irracionales ya no es un proceso algebraico tan sencillo. El primero que trató la caracterización de la continuidad de los números reales, como se conoce en la actualidad fue Richard Dedekind (1831–1916), quien con una idea bastante ingeniosa relacionó los números reales con una semi-recta y formalizó el concepto usando lo que él llamócortaduras, conocidas como cortaduras de Dedekind. Hay otra forma de definir los números irracionales; ésta fue propuesta por Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) utilizando sucesiones, precisamente a éstas sucesiones se les llama sucesiones de Cauchy. En la última unidad uno de los criterios de convergencia para sucesiones y series es conocido como el criterio de Cauchy, en honor a este matemáticofrancés.

Existe otra manera de construir los números reales la cual parte de conceptos más elementales como son los conjuntos y las leyes de la lógica simbólica para formar los números naturales. De ahí de sigue la misma construcción para el resto de los números como en el caso anterior. Esta construcción como se puede ver parte de conceptos más elementales y pretende esclarecer un poco más lapregunta conceptual de qué son los números. Lo importante de todo esto, es que en cualquier construcción se han utilizado diversas aportaciones de grandes matemáticos que han resuelto los problemas angulares en el significado de los números reales.

Una de las formas más sencillas de construir los números reales, sobre todo si lo que se quiere es solamente utilizarlos, es partir de diez axiomasbásicos y algunas definiciones que reúnen la esencia de la estructura de los números, esto es, de dichos axiomas se pueden desprender todas las demás propiedades.

Antes de seleccionar la forma de presentar el material de los números reales deberíamos de hacernos las siguientes preguntas.

¿Qué tan importante deben ser los números reales para una persona que piensa estudiar cálculo diferencial eintegral?, ¿Qué tan a fondo debe saberlos?

Si reflexionamos un momento veremos que el cálculo diferencial e integral es el estudio de funciones de números reales, por lo que un mayor dominio de éstos deberá redundar en una mejor compresión de las ideas del cálculo. Por eso creemos que es indispensable un buen conocimiento de los números y poder manejarlos con la suficiente facilidad y...