Numeros Reales

2 CAPÍTULO DOS

Ejercicios propuestos

2.1 Representación decimal
1. El conjunto de los números irracionales es cerrado bajo el producto. a ) Verdadero b) Falso 2. El número

a) Verdadero a) {x/x b) {x/x c) {x/x d) {x/x e) {x/x

π + 4 es un número irracional. 2π

b) Falso

3. Indique cuál de estos conjuntos no es vacío.

∧ 3 < x < 4} ∧ x2−2 = 0} ∧ x + 1 ≥ 0} ∧ x2 + 1 < 0} ∧ x−1 − 2= 0}

4. Hallar el valor de las siguientes operaciones y expréselo como un entero o fracción simplificada: a) (1.2÷36+1.2÷0.25− 1 5 )÷ 169 (7−6.35)÷6.5+9.9

16

24

b) 3(6−1.333...)+6(1.333...)−16.666...

3 c) 2 1+ 0.5

2 3 1+ 0.5

54 3 +1.666... 9+2.666...

5. ¿Es el conjunto de los números irracionales cerrado bajo la adición? Si no lo es, dar un contraejemplo.

2.2 Operacionesbinarias
6. Dado el conjunto S={1, 2, 3, 4} y la operación binaria en S definida como:

Indicar cuál de las siguientes proposiciones es verdadera: a) b) c) d) e) La operación no es conmutativa. La operación no es asociativa. El elemento neutro es 1. ∀ a , b S:(3 * a) = (b * 3) (1 * 3) * 2 = (2 * 1)* (3 * 4) pág. 225

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7. Sea G = {a, b, c}, si sobreeste conjunto se define la operación binaria que se representa en la siguiente tabla.

a b c
a) b) c) d) e)

a b b a

b a c b

c a b c

Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa. La operación binaria ∇ es conmutativa. La operación binaria ∇ es asociativa. ∃ λ G, ∀ x G: [x ∇ λ = x] (a ∇ a) = [(b ∇ c) ∇ a] [(a ∇ b) ∇ ( a ∇ c)] = (c ∇ b)

8. Un sistema matemático (operaciónbinaria) particularmente interesante es el que llamamos aritmética modular. Un ejemplo es el conjunto de los enteros módulo 4, los elementos de este conjunto son 4, a saber: S = {0, 1, 2, 3} En donde las operaciones quedan definidas de la siguiente manera: ∀ i, j, k S: i+j=k, donde k es el residuo de la división de i+j para 4. ∀ i, j , m S: i.j=m, donde m es el residuo de la división de i.j para 4.Así:

2 + 3 =1 ya que 2+3=5, que dividido por 4, da residuo 1. 2 . 3 = 2 ya que 2.3=6, que dividido por 4, da residuo 2.
Hallar el resultado de las siguientes operaciones para el módulo indicado. a) Módulo 7 S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} I) 4+5 II) 5.3 III) 2.4 IV) 5.6 V) 6.1 VI) 1+0 VII) 2.0 VIII) 5+3 IX) 4.5 X) 2+5 pág. 226 b) Módulo 6 S = {0, 1, 2, 3, 4, 5} I) 4+5 II) 5.3 III) 2.4 IV) 5.1 V)0.1 VI) 1.0 VII) 2.0 VIII) 5+3 IX) 4.5 X) 2+5

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∆

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2.3 Operaciones entre números reales
9. El valor de la expresión 2

1 3 1 41 18

1 1

es:

1

1 2
d)

a)

15 2

b)

2 15

c)

18 41

e)

27 11

10. ¿A qué es igual a . 0?; ¿por qué? 11. ¿Por qué es verdadera la igualdad (a + b) . c = a . c + b . c? 12. ¿Es verdadera algunade la siguientes propiedades distributivas de la división sobre la adición? ¿Por qué? a) a÷(b + c)=(a ÷ b)+(a ÷ c) b) (a + b)÷ c =(a ÷ c)+(b ÷ c) 13. Demostrar que entre los números reales hay un sólo cero; esto es, hay un sólo número c, tal que:

2.4. Relación de orden
14. El valor de verdad de la proposición a) Verdadero b) Falso es:

15. Una de las siguientes proposiciones es falsa,identifíquela: a) b) c) d) e) pág. 227

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16. ¿Cuál es la lista donde los números aparecen ordenados de menor a mayor? a) b) c) d) e)

69 200 19 100 4 5 1 5 1 2

19 1 , 0.8 , 100 5 1 69 , , , 0.8 5 200 19 1 69 , , , 100 5 200 69 19 , 0.8 , , 200 100 2 , 0.5 , 4
,

17. Dos grupos de turistas tienen 60 personas cada uno. Si 3 del primer grupo y 2 delsegundo toman un autobús para ir al museo, ¿cuántas personas

4

más del primer grupo toman el autobús que del segundo? a) 2 b)4 c)5 d)40 e)45

3

18. Dado el siguiente rectángulo:

¿Qué círculo tiene oscurecida , aproximadamente, la misma fracción que el rectángulo?

19. ¿Qué número es mayor? a)

4 5

b)

3 4

c)

5 8

d)

7 10

e)

31 40

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