Numeros Reales

Tema: Números Reales

Abril 2010

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales
La unión del conjunto de los números racionales Q con el conjunto de los números
irracionales II , recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo
, simbólicamente escribimos:

En ocasiones necesitamos trabajar con subconjuntos de R, algunos de los subconjuntos quemás
se utilizan son los siguientes:
El conjunto de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, ...}
El conjunto de los números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
El conjunto de los números enteros positivos Z+ = {1, 2, 3, 4 ...}
El conjunto de los números racionales Q =  a : donde a y b son enteros, con b ≠ 0 
b

Otros subconjuntos de R muy útiles son los llamados intervalos, loscuales trataremos más
adelante.
El siguiente diagrama ilustra la relación de inclusión entre los conjuntos numéricos

Números
irracionales
Números
reales

Números racionales
no enteros
Números
racionales
Números enteros

Números
naturales

Números
enteros
positivos

Sistema de los números reales.
El sistema de los números reales se puede definir de varias manera, la más sencilla y adecuada al
niveldel curso es usando el método axiomático, esto nos proporciona una base para el resto del
curso.
El sistema de los números reales consta del conjunto R con dos operaciones, que llamaremos
adición y multiplicación, denotadas con los símbolos + y ⋅ respectivamente, que satisfacen
un conjunto de propiedades llamadas axiomas de cuerpo. Además de un ordenamiento en el
conjunto R que se establece conlos axiomas de orden y las relaciones menor que y mayor que
Decir que la adición y la multiplicación son operaciones definidas en el conjunto de los números
reales significa que al efectuar la adición o multiplicación de dos números reales siempre se
obtendrá como resultado en un número real.

UNEXPO

Prof. Luis Núñez

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Propiedades (axiomas) de la adición en elconjunto de los números reales
A1 : Si a ∈ R , b ∈ R entonces
Por ejemplo:

3+

2 =

A2 : Si a, b , c ∈ R entonces

a + b = b + a,

(la adición es conmutativa )

2 +3
( a + b ) + c = a + ( b + c ), ( la adición es asociativa)

Por ejemplo: -3 + (5 +4) = (-3+5)+4
A3 : Existe 0 ∈ R tal que para cada a ∈ R a+0 = a ( 0 es el elemento neutro de la adición
en R )
A4 : Para cada a ∈R existe -a ∈R tal que a + (-a) = (-a)+a = 0 (cada número real posee
inverso aditivo u opuesto aditivo)
Por ejemplo: el inverso aditivo de -4 es 4 pues -4 +4 = 0
Propiedades (axiomas) de la multiplicación en el conjunto de los números reales
M1 : Si a,b ∈ R entonces a.b = b.a (la multiplicación es conmutativa)
Ejemplo:

3
. 2 = 2.3
4
4

M2 : Si a,b,c ∈ R entonces a.(b.c) = (a.b).c
Ejemplo:

(la multiplicaciónes asociativa)

(3 ) ( 3 )

2. 1 ⋅3 6 = 2⋅ 1 ⋅3 6

M3 : Existe 1 ∈R tal que para cada a ∈R se cumple a.1 = a ( 1 es el elemento neutro de la
multiplicación)
M4 : Para cada a ∈ R, a ≠ 0 existe a-1 tal que a. a-1 = 1 (cada número real diferente de 0
posee inverso multiplicativo)
Al inverso multiplicativo del número a se denota por a-1 o bien por 1 . Es importante destacar
a
que el número cero noposee inverso multiplicativo.
Ejemplos:

3 7
⋅ =1
7 3

y

3⋅

1
3

= 1 , así que

3
 
7

−1

=

7
3

y

( 3 )−1 =

1
3

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
D: Si a, b, c ∈R entonces se cumple que: a.(b + c) = a.b + a.c

Ejemplo:

-4. (3 + 5) = -4.3 + (-4).5

Nota: Las propiedades anteriores son tomadas como axiomas en la construcción del sistema de
losnúmeros reales, esto significa que deben ser aceptadas como verdaderas sin demostración.
UNEXPO

Prof. Luis Núñez

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La sustracción en el conjunto de los números reales
Sean a y b números reales, llamaremos sustracción de a y b, y la denotaremos a – b a la
operación definida por: a – b = a + (-b) . Es decir a – b es la suma de a con el opuesto de b o
bien, que...