NUMEROS REALES

Curso de Nivelación en Matemática.
Práctico N° 1 : Números Reales
Autores: F. Buffo, M. Caldarelli, S. Orofino, A. Verdiell.

En este práctico se presenta la ejercitación correspondiente a los siguientes
contenidos: propiedades de los números reales, expresiones algebraicas, ecuaciones
e inecuaciones.

Ejercicio n° 1
Responder si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a)

3
∈Q
5

b)0.12345....

∈Q

c)

5 ∈R

d)

2 ∈N

e)

−

1
∈Z
8

Ejercicio n° 2
Determinar si cada una de las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:
a)

(a + b)2 = a 2 + b 2

c)

a2 + b2 = a + b

e)

ab = a b
1 + ab
d)
= 1+ a
b
1
x = 1
f)
a b a−b
. −
x x
b)

1
1 1
= −
x−y x y

Ejercicio n° 3
Resolver los siguientes ejercicios usando las propiedades de números reales:

a)

 2
−  :
 3

 1
8: 2

−1

3
+ : (− 2) −
4

−1
 1
 
 − 1 
 
 2

8
 3  16
+ − 
×3 +1
27  8  9

 
2
 1
3 :  − 2  + 1 :  2 − 7 




 

−3

Rta:

−

7
12

Rta:

−

6
5

2 3:
b)

1
1− : 2
2
−
1 3
− +1
4 2

c)

1
3
−

1
2
 − 2
 − 3
2
2
2
1

1 − 
1
4

−
6

1
4

49
16

Rta:

3
8

5
3

2



3
4 2+ 1
2
 36  

4

 ×  − 3 + 5   × 

3
2  
 3 + 3  


− 1−
5
2



d)

Rta:








2

2

e)

f)

 1 1 1
6 × ×  −2+2: 4
 2 4 8 −
3+


1
2
1− 1 :

 1−
2
3



2
3
1 1
−
3 4
2−

1 − 3 1 1 + 3 1  + 3 1

2 
2 
4


Rta:

−1

23





1
1 1 −
 − 2 3 12
2
1

 3
2


g)

1
+ 0 .4 × 0 .5
2
1 − 0 .2 × 3
3
3
− 1 1−
4
2
−
0 .5
2

h)

1 1  1 1

 − 1+ −  :  + 
3 2 2 3

2
(− 4.5) : (− 0.1)−1
3

Rta: 4

1
(1 − 3 2 )2

0 .1 −

−2

Rta: 2

−1
2

 1 
−3
−
 + (− 1)
 7

Ejercicio n° 4
Aplicar el primer caso de factoreo a cada una de las siguientes expresiones:

a)

5
5
15ab 2 x + 10b 2 cx − bcdx − bxd
2
3

1 
1
Rta: 5bx
 b(3a + 2c ) − d 2 c + 3  




Rta:

2
7

4 3 3 2
18 4 2
2 3 3
x z − 2x 2 z −
x y z −
x z − 4 x 2 yz
5
5
3

2 3 9 
1
2 
Rta: 2 x z
 xz 3 z − 5 y − 5 x  − 1 − 2y 




b)

15 4 2
3 4 5
27 3 4
8
x y −
x y +
x y − x5y 2
16
4
4
9
3 3 8  27 2 
3 2   15
Rta: − x y 
 x  16 + 4 y − 9 x  − 4 y 

 


c) −

d)

0.16 a 2 b 2 + 0.4 a 4 b 3 − 0.32 a 5 b 5

Rta:

(

(

0.4 a 2 b 2 0.4 + a 2 b 1 − 0.8 ab 2

))

Ejercicio n° 5
Factorear las siguientes expresiones aplicando el segundo caso de factoreo.

2ax + 2bx − ay + 5a − by + 5b
Rta: (a + b )(2x − y + 5 )a)

9a 2 x − 3ax 2 + 15a − 5 x + 6am − 2mx
Rta: (3a − x )(3ax + 2m + 5 )
b)

c)

3
1
5
mx − m 2 + mxy
4
4
4
(8y + m)(x(5y + 3) − m)
4

6 xy − 2my + 10 xy 2 +

Rta:

7
1
my − 21m 2 y − 14 y − m 2 + 2m + 3m3
3
3

d)

Rta:

(9m

2

)

− m + 6 (m − 7 y )
3

Ejercicio n° 6
Indicar cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos y en tal caso, factorearlos.

36 4 6 6
25 2 4
a b x + 6a 3 b 3 x 3y 2 +
a y
25
4

a)

Rta: Es un trinomio cuadrado perfecto.

(

a 12ab x + 25 y
100
2

c)

3

3

q2
− 2pq + p 2
4

)

2 2

b)

1
1 8 12
0.25m 4 n 2 − m 2nx 4 y 6 +
x y
7
49

Rta: Es un trinomio cuadrado perfecto.

1 4 6
1 2
 m n− x y 
7

2
d)

2

(a − x )2 + 81m 4 − 18m2 (a − x )

Rta: No es un trinomio cuadrado perfecto.

Rta: Es un trinomio cuadrado perfecto.

((a − x ) − 9m )

2 2Ejercicio n° 7
Indicar cuáles de los siguientes cuatrinomios son cubos perfectos y en tal caso, factorearlos.

a)

p 3 + p 2 x 4 + 3px 8 + x12

Rta: No es un cuatrinomio cubo perfecto.

c)

x 3 x 2a
−
+ xa2 − a 3
27
3

Rta:

x

 − a
3


b)

1 9 2 6 2
x + x y + 4x 3 y 4 + 8y 6
27
3

Rta:

d)

1 3
2
 x + 2y 

3

3

0.125 − 0.75 xy + 1.5 x 2 y 2 − x 3 y 3

3

Rta:


1
 − xy 

2

3Ejercicio n° 8
Factorear las siguientes diferencias de cuadrados:

a)

4x 6 y 4 z 2 −

1
m 4n 8d 2
36

b)

− 25m 4 + 100n 8

Rta:

1 2 4  3 2
1 2 4 
 3 2
 2 x y z + m n d . 2 x y z − m n d 
6
6




Rta:

(10n

4

)(

− 5m 2 . 10n 4 + 5m 2

Ejercicio n° 9
Factorear las siguientes sumas y diferencias de potencias de igual base:

a)

y5+

Rta:

b)

1
10 5

1
1
1 
1  4 1 3

y + 2 y2...