Numeros reales

INTRODUCCION A LOS NUMEROS REALES

Números Reales
Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0) .Podemos verlo en esta tabla:

Un número reales racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras:
* decimales terminales
* decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los númerosirracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.

Orden de Operaciones

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas:

1. Primero resolver todo lo que esté dentro de simbolos de agrupación.
2. Evaluar las expresiones exponenciales.
3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.
4. Hacertodas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Recta Numérica
Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el ladopositivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.
* Si a - b espositivo, entonces a > b.
* Si b - a es positivo, entonces a < b.

Notación Exponencial
La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X).

Ejemplos:

NUMEROS NATURALES
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

El principio de inducción matemática consiste en lo siguiente:

Una proposición es válidapara todo número natural n si:
1. Es válida para n = 1
2. De su validez para un número natural cualquiera n = k se desprende su validez para n = k + 1
En la sección de Lógica, en la parte de Demostración Matemática vimos que el principio de inducción matemática se puede expresar simbólicamente de la siguiente manera:
p(1) ^ k[p(k) --> p(k + 1)] --> np(n)
En esa misma sección seestudió la demostración por contradicción. Demostrar una proposición de la forma p --> q, es equivalente a demostrar esta proposición de la forma [((p ^ ~q) --> (r ^ ~r)]. Es decir, la negación de la proposición p --> q, vimos que es equivalente a p ^ ~q, que es exactamente lo que consiste la demostración por contradicción, esta nos lleva a una expresión de la forma r ^ ~r, que es una falsedad, envirtud de esto, se concluye que la negación de la proposición p --> q es falsa.

Antes de ver la demostración del Principio de Inducción Matemática, quiero poner en claro lo siguiente:
El antecedente del principio de inducción, consta de dos partes:
1. La proposición es válida para n = 1.

2. Si la proposición es válida para un número natural cualquiera n = k entonces es válidapara el número n = k + 1.

El consecuente del principio de inducción, nos dice que si lo anterior se cumple, es decir si las dos partes del antecedente son válidas para una proposición, entonces esta sigue siendo válida para todo número natural n.

Ahora bien, la demostración por contradicción, consiste en la negación del consecuente, y hacer válido el antecedente. Para la demostración por...